Алгебра | Дифференциалдық теңдеулер

Мазмұны

КІРІСПЕ.........................................................................................3
I тарау. 1.1. Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар................4
1.2. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер......................10
1.3. Біртекті және оларға келтірілетін теңдеулер...................15

II тарау. 2.1. Сызықты теңдеулер...........................................................19
2.2. Бернулли теңдеуі................................................................24
2.3. Толық дифференциалдық теңдеулер................................26
2.4. Интегралдық көбейткіш.....................................................28
2.5. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер. Ретін төмендету әдісі................................................................................................................31
2.6. n-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер..............33
Қорытынды...................................................................................................36
Пайдаланылған әдебиеттер.........................................................................37

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

1.1. Дифференциялдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар.


Дифференциалдық теңдеулер деп тәуелсіз айнымалыны х пен ізделінетін у=у(х) функциясын және оның у'(х), у''(х),..., туындыларын байланыстыратын теңдеуді атайды. Оны жалпы жағдайда
(1)
түрде жазуға болады. Басқаша айтқанда ізделінетін функцияның туындысы немесе дифференциалы кіретін теңдеуді атайды.
Ізделінетін функция тек бір аргументтен тәуелді болса, теңдеуді жай дифференциалдық теңдеу немесе дифференциалдық теңдеу деп атайды.
Бірнеше аргументтен ізделінетін функцияны және оның дербес туындыларын қамтитын теңдеуді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды.
Алдағы уақытта тек жай дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз. Теңдеуге кіретін туындының ең жоғарғы ретін дифференциалдық теңдеудің реті деп атайды. Мысалы, (1) теңдеу n-ретті дифференциалдық теңдеу. Егер (1) теңдеуде n=1 болса, онда 1- ретті теңдеудің

жалпы түрін аламыз.
Егер бұл теңдеуді у' туындысына қарай шешу мүмкін болса, онда
у'=f(x,y) (2)
(2) теңдеу туындысына қарай шешілген деп атайды. Егер (1) теңдеуде болса, онда оны жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеу деп атайды.
Дифференциалдық теңдеудің шешімі қайсыбір (a,b) интервалында анықталған, реті дифференциалдық теңдеудің ретіндей болатын туындылары үзіліссіз және х бойынша (х (a,b)) теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын функциясын айтады.
Мысалы, егер функциясы (1) теңдеудің шешімі болса, онда

Қайсыбір жағдайда теңдеу шешімі айқындалмаған түрде алынады

Дифференциалдық теңдеу шешімінің графигін осы теңдеудің интегралдық қисығы деп атайды.
Қысқаша интегралдық қисықты теңдеу шешімі деп те айтады.


1-мысал. функциясының
дифференциалдық теңдеудің шешімі болатынын көрсету керек.
Шешуі. функциясының туындысын табамыз

Енді пен өрнектерін берілген теңдеуге қоямыз:



Демек, функциясы берілген теңдеудің шешімі екен. Берілген дифференциалдық теңдеудің шешімін табу процесін интегралдау деп атайды. Егер барлық шешімдерді элементар функциялар арқылы табу мүмкін болса, онда теңдеу элементар функциялар арқылы интегралданады деп аталады. Егер де теңдеу шешімі элемантар функциялар арқылы алынбаса, бірақ оның шешімі элемантар функциялардан алынған анықталмаған интеграл түрінде болса, онда теңдеу квадратурада шешілген деп айтады. Квадратурада деп анықталмаған интеграл алу процесін айтады. Егер теңдеу шешімі элемантар функциялар арқылы немесе квадратурада алынса, онда дифференциалдық теңдеу шекті түрде интегралданады деп айтады. Алдағы уақытта тек осындай теңдеулерді қарастырамыз.
Егер (1) теңдеу жоғарғы ретті туындыға қарай шешілсе:
(3)
онда теңдеу нормалды түрде берілген деп атайды. (2) теңдеу 1-ретті дифференциалдық теңдеудің нормалды түрі болады.
Егер (3) теңдеудің оң жағындағы өрнек белгісіз функция мен оның туындылары бойынша сызықты және олардың көбейтінділерін қамтыса онда мұндай теңдеулерді сызықты дифференциалдық теңдеулер деп атайды.
(2) дифференциалдық теңдеудің дербес жағдайын қарастырамыз
(4)
Интегралдық есептеуден белгілі
(5)
мұндағы с кез келген тұрақты сан, сонымен қатар тұрақты с-ның әр түрлі мәндеріндегі функциялары да (4) теңдеудің шешімдері болады.
Сонымен, (4) теңдеудің (5) түріндегі шешімінде бір тұрақты сан (параметр) бар:

мұндай шешімді 1-ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп атайды. Жалпы шешімінен параметрдің бір белгілі мәніне сәйкес келетін шешімнің мәнін теңдеудің дербес (дара) шешімі деп атайды. Жалпы шешімнен дербес шешімді табу үшін әдетте белгісіз функцияның қайсыбір нүктесіндегі мәні беріледі. Бұл шартын бастапқы шарт деп атайды. (2) теңдеудің шартты қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебі деп атайды.
(3) теңдеудің жалпы шешімі деп
(6)
функциясын атайды. Бұдан n-ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешіміне n тұрақты сан барын көреміз және осыдан қайсыбір дербес шешімді табу үшін төмендегі
(7)
Егер жалпы шешім айқындалмаған түрде

берілсе, онда оны (3) теңдеудің жалпы интегралы деп атайды.
Егер (2) теңдеуді шартпен қарастырып, бұл теңдеудің шешімі бар ма, егер бар болса ол шешімі тек біреу ғана бола ма деген сұрауларға жауап іздейміз. Бұл сұраққа жауапты төмендегі шешімнің бар және оның жалғыз болуы туралы теорема береді.
Теорема. Егер (2) теңдеудің оң жағындағы функция тұйық (a,b- қайсыбір сандар) облысында үзіліссіз және осы облыста У бойынша Липшиц шартын қанағаттандырса:

мұндағы N- тұрақты сан, онда берілген теңдеудің аралығында анықталған, бастапқы шартын қанағаттандыратын тек жалғыз шешімі бар.
Ескерту. Бұл теоремадағы Липшиц шартын D облысында дербес туындының шектелген болу шартымен ауыстыруға болады.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің ерекше шешімі (ерекше интегралдық қисығы) деп кез келген нүктеде Коши есебінің шешімі жалғыз болу шарты орындалмайтын шешімін атайды. Ерекше шешімді жалпы шешімді жалпы шешімнен кез келген тұрақты сан қайсыбір мәнінде алу мүмкін емес (бірақ оны с=с(х)) болғанда алу мүмкін.

2-мысал. Дифференциалдық теңдеуді шешіңіз

Шешуі. Мұнда және ол хОу жазықтығының барлық нүктелерінде анықталған, үзіліссіз функция. Дербес туындысын табамыз:

у=0 болғанда бұл туынды шексіздікке айналады.Сондықтан у=0 болғанда жоғарыдағы теореманың шарты орындалмайды. Олай болса Ох өсінің барлық нүктелерінде шешімнің жалғыз болмауы мүмкін. Берілген теңдеуді шешеміз:

Сонымен берілген теңдеудің жалпы шешімі .
Сонымен қатар у=0 теңдеудің шешімі болатыны көрініп тұр. Демек, Ох өсінің әрбір нүктесі арқылы жоқ дегенде екі интегралдық қисық өтеді. Берілген теңдеудің интегралдық қисығы кубтық параболаның бөліктерінен тұратын сызықтар және Ох өсінің кесінділері болады. Мысалы, және т.с.с., бұдан Ох өсінің әрбір нүктесі арқылы интегралдық қисықтың шексіз жиыны өтетінін көреміз.
Берілген қисықтар тобы бойынша дифференциалдық теңдеуді құруға тоқталамыз.
Кез келген , (8) қисықтар тобы үшін, мұндағы с-параметр, - функциясының үзіліссіз дербес туындылары бар, дифференциалдық теңдеу құруға болатынын көреміз.
(8) теңдеу у-ке қарай шешіледі деп жоримыз: у=у(х,с)
у-тің осы мәнін (8) теңдеуге апарып қоямыз

Бұл тепе-теңдікті х бойынша дифференциалдап:

Төмендегі жүйені аламыз:
(9)
Бұл жүйедегі теңдеудің біреуінен с-ны тауып екіншісіне апарып қойсақ параметр с жойылады да F(x,y,y’)=0 түрдегі дифференциалдық теңдеуді аламыз. Бұл теңдеуді (8) қисықтар тобының дифференциалдық теңдеуі деп атайды.

4-мысал. параболасының төбесін нүктесіне паралель жылжыту арқылы алынған қисықтар тобының теңдеуін құрамыз. Бұл топтардың дифференциалдық теңдеуін тауып, одан мәндеріне сәйкес келетін интегралдық қисықтарды бөлу керек.
Шешуі: Параллель түрлендіруді жасау үшін теңдеуіндегі х абциссасын х-с- ге, ал ордината у-ті алмастыру керек. Нәтижесінде іздеп отырған параболалар тобын аламыз немесе
(10)
Бұл теңдеуде бір параметр с бар, сондықтан оны бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі ретінде қарастыруға болады.
Дифференциалдық теңдеуді табу үшін (10) теңдеудің екі жағын х бойынша дифференциалдап (9) жүйені қараймыз:

Екінші теңдеуден с-ны тауып, оны бірінші теңдеуге қойсақ
(11)
(10) топтағы әрбір қисық (11) теңдеудің интегралдық қисығы болатындығын байқаймыз. Сондықтан (10) теңдеудегі с-ның орнына берілген мәндерді қойып тиісті интегралдық қисықтар теңдеуін аламыз. С=0 болса , с=1 болса болғанда болады.
5-мысал. шеңберлер тобының дифференциалдық теңдеуін құру керек.
Шешуі. Қисықтар тобында a,b,r үш параметр бар.
Сондықтан берілген теңдеуді х бойынша үш рет дифференциалдаймыз:

Немесе

Бұдан a мен r параметрлері дифференциалдау процесінде жойылғанын байқаймыз. Екінші теңдеуден b-ні табамыз:

Мұны үшінші теңдеуге қойсақ: түріндегі дифференциалдық теңдеу шығады.
Енді (2) дифференциалдық теңдеудің геометриялық мағынасын қарастырамыз. Айталық осы теңдеудің жалпы шешімі болсын. Бұл шешім Оху жазықтығында интегралдық қисықтар тобын анықтайды. (2) теңдеу әрбір М(х,у) нүктеде туынды мәнін анықтайды, демек осы нүкте арқылы өтетін интегралдық қисыққа жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентін анықтайды. Сонымен, (2) дифференциалдық теңдеу бағыттар жиынын береді, немесе, әдетте, бағыттар өрісін анықтайды деп атайды.
Демек, дифференциалдық теңдеуді интегралдау есебі геометриялық тұрғыдан қарағанда жанама бағыты сол нүктеге сәйкес келетін өріс бағытымен дәл келетіндей қисықтарды табуда екен.
(2) дифференциалдық теңдеу үшін қатыс орындалатын геометриялық нүктелер орнын берілген теңдеудің изоклині деп атайды. С-ның әртүрлі мәндерінде изоклиндердің әртүрін аламыз. С-ға сәйкес келетін изоклин теңдеуі болады. Изоклин топтарын құрып, жуықтап интегралдық қисықтар тобын құруға болады. Берілген изоклинді қиып өтетін барлық интегралдық қисықтар абцисса осімен бірдей бұрыштар жасайды.
6-мысал. теңдеуінің интегралдық қисықтарын изоклиндердің көмегімен салыңыздар.
Шешуі. Берілген теңдеудің изоклиндері , теңдеуден анықталады. с=0 болғанда, 2х(1-у)=0 болады да х=0 және у=1 екі түзуін, сонымен қатар гиперболалар тобын береді. у=1 түзуі дифференциалдық теңдеудің шешімі болғандықтан интегралдық қисық болады. Ординаталар осімен интегралдық қисықтар тік бұрыш жасайды, демек олардың жанамасы абцисса осіне параллель болады. Бұл х=0 қисығының нүктелері интегралдық қисықтар үшін кризистік нүктелер болатынын көрсетеді. Кризистік нүктелер характерін анықтау үшін у=у(х) функциясының екінші ретті туындысын табамыз.

Демек, ординаталар осінің у>1 болатындығы ординат осінің нүктелері интегралдық қисықтың минимум нүктелері болады. Сонымен қатар нүктелер интегралдық қисықтар тобының иілу нүктелері болады. Ары қарай, х=0 және у=1 түзулер координаталар жазықтығын әрқайсысында туындысының таңбасы бірдей болатын төрт бөлікке бөледі. Ендеше, у>1 болғанда интегралдық қисықтар х=0 түзуін қиып өтіп у(х) функциясының өсу облысынан оның кему облысына өтеді. Тағы да с=1 және с=-1 болғандағы екі изоклинді қарастырамыз:
және
Осы изоклиндермен қиылысу нүктелеріндегі интегралдық қисықтарға жүргізілген жанамалар абцисса осімен сәйкес және бұрыштар жасайды.
1.2. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер
(1)
түріндегі теңдеуді қарастырамыз, мұндағы dx- тің алдындағы функция тек х-тен, ал dy-тің алдындағы функция тек у-тен тәуелді. Бұл жағдайда дифференциалдық теңдеудің айнымалылары бөлінген немесе ажыратылған деп атайды. Қарсатырып отырған х пен у мәндерінде пен функциялары үзіліссіз деп жорысақ, онда (1) теңдеуді интегралдауға болады.
(2)
(2) қатыс тәуелсіз айнымалы х-ті, белгісіз у-ті және тұрақты С санының арасындағы байланысты береді, демек ол жалпы шешім болады.
Тәуелсіз айнымалы айқын түрде кірмейтін бір теңдеуді келтіреміз

Бұл теңдеудің екі жағын да dx-ке көбейтіп, сонан соң бөлеміз
немесе ,
Мұндағы х у-тен функция ретінде қарастырылады.
Нормальдық түрде берілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеудегі туындыны дифференциалдар қатынасы арқылы жазамыз.
(3)
Егер (3) теңдеудің оң жағы біреуі тек х-тен тәуелді болатын екі функцияның көбейтіндісі түрінде жазылса, онда (3) теңдеуді айнымалылары ажыратылатын (бөлінетін) теңдеу деп атайды. Демек

болады да (3) теңдеу былай жазылады:

бұл теңдеудің екі жағын dx-ке көбейтіп -ке бөлеміз:
(4)
(4) теңдеудің айнымалылары ажыратылатын және дифференциалдар өзара тең, онда олардың анықталмаған интегралдары өзара тұрақты қосылғышпен айырмалатыны белгілі:
(5)
мұндағы с- тұрақты сан. (5) қатыс у-ті және тәуелсіз айнымалы х-ті байланыстырады, демек ол (3) теңдеудің жалпы шешімі болады. Егер теңдеу .....