Алгебра | Дифференциялдық теңдеу сызықты теңдеу

Мазмұны

Кіріспе...............................................................................................................
І – тарау.
Қажетті анықтамалармен жалпы тұжырымдар.
§1 Функцияның сипаттаушы сандары............................................................
§2 Сипаттаушы көрсеткіштердің негізгі қасиеттері.....................................
§3 Сызықтың біртектес жүйе шешімдерінің сипаттаушы
көрсеткіштері... ...............................................................................................

ІІ- тарау
Дұрыс және келтірімді жүйелер.
§1 Дұрыс жүйелер............................................................................................
§2 Үшбұрышты жүйелердің дұрыстығы.. Ляпунов теоремасы..................
Мысалдар....................................................................................................
Әдебиеттер.....................................................................................................

Қажетті анықтамалармен жалпы тұжырымдар
§1 Функцияның сипаттаушы сандары
Ляпуновтың анықтамасы. Егер кез – келген мейлінше аз E>0 саны үшін нақты сан мына теңдіктерді
(1)
Қанағаттандыратын болса, онда оны функциясының сипаттаушы көрсеткіші (саны) деп атайды.
Бұл анықтамадан кез – келген функцияның сипаттаушы көрсеткіші бола бермейтіні көрініп тұр.
Перронның анықтамасы. Мына теңдік
(2)
арқылы анықталатын саны (не таңбасы) функциясының сипаттаушы көрсеткіші (саны) деп аталады.
Ляпунов пен Перрон анықтамаларының өзара пара – пар екенін көрсетейік. (1) теңдіктер орындалсын. Оның біріншісінен санының бар болып, кез келген және үшін
(3)
орындалатыны шығады. Ал екінші теңдік тізбегінің бар болып, ол үшін шартының орындалатынын білдіреді. Демек, жетерліктей үлкен үшін
(4)
теңсіздігі орындалады.
(3) және (4) теңсіздіктері логорифмдеу арқылы

теңсіздіктерін аламыз. Бұл екі теңсіздік (2) формуланың дұрыстығын білдіреді. Енді сипаттаушы көрсеткіш (2) формула арқылы анықталсын. Онда саны табылып, теңдігі орындалады. Сондықтан үшін және Сандары табылып,

теңсіздіктері, яғни (2) орындалады.
(2) формула сипаттаушы көрсеткішті есептеу үшін өте ыңғайлы.
ЕСКЕРТУЛЕР.
1. Жоғарыда айтылғандардың, үшін
орындалғанда болатыны, ал
орындалғанда, болатыны шығады. Демек, болса, онда кезде .
Функциясы кез-келген көрсеткіштікфункциясына қарағанда баяуырақ және де белгілі бір тізбегі бойынша функциясынан тезірек өседі. (1- сурет). Бұдан егер функцияның сипаттаушы көрсеткіші теріс болса, оның кезде нольге ұмтылатыны, ал сипаттаушы көрсеткіші оң болса, оның кезде шенелмегендігі шығады.

Егерде функцияның сипаттаушы көрсеткіш нольге тең болатын болса, онда оның кездегі сипаты туралы ештеңе айтуға (с.к. бойынша) болмайды.
АНЫҚТАМА. Үзіліссіз вектор функциясының (матрица - жол немесе матрица – бағана) сипаттаушы көрсеткіші деп оның нормасының сипаттаушы көрсеткіші аталады.
және де ол норманың қай түрі
алынып тұрғанына байланысты болмайды, себебі ол нормалар өзара пара –пар.
АНЫҚТАМА. Саны ақырлы функциялар жиынтығының сипаттаушы көрсеткіші деп олардың сипаттаушы көрсеткішінің ішіндегі ең үлкенін айтады.
Әлбетте, егер вектор – функцияны компоненттерінің жиынтығы есебінде қарастырып, оның сипаттаушы көрсеткіші формуласы арқылы анықталса, онда ол - мен тең болады.

§2 Сипаттаушы көрсеткіштердің негізгі қасиеттері
1-Теорема. Саны ақырлы функциялар қосындысының сипаттаушы көрсеткіші осы функциялар көрсеткішінің (олар ақырлы болғанда ) ең үлкенінен аспайды. Ал егерде ең үлкен сипаттаушы көрсеткішке жалғыз ғана функция ие болса,қосындының көрсеткіші оған тең болады.
іргелі жүйені де нақты деп есептеуге болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ: Формула түрінде жазғанда, теореманың 1- ші бөлігін мына теңсіздікті білдіреді.
(1)
белгілеу енгізейік:
онда үшін
Бұдан (1) теңсіздіктің шығатыны айқын. Енді теореманың екінші бөлігін дәлелдейік. болсын. Онда үшін
Еркін санын теңсіздігін қанағаттандыратындай етіп алайық. Онда

теңдігі орындалады. Сондықтан мына ақиқат теңсіздікті

пайдалана отырып,
теңдігін аламыз. Олай болса, бұл теңсіздік (1) теңдікпен қосылып,
теңдігін береді.
Ескертулер.
1.Жасанды түрде қарағанда теорема кейбір функциялар ақырсыз ( неме-
се ) көрсеткішке ие болғанда да орындала береді.
2. Егер қосылғыштардың саны ақырсыз болатын болса, онда теорема мәнін жояды (орындалмайды)
2- Теорема. Саны ақырлы функциялар көбейтіндісінің сипаттаушы көрсеткіші осы функциялар көрсеткіштерінің қосындысынан аспайды,
(2)
Дәлелдеуі. Әлбетте, мына тұжырым

яғни, орындалады.
Ескертулер. Егер көбейткіш функцияларының арасында теңдіктерін қанағаттандыратын және функциялары бар болса, онда (2) теңсіздік анықталмай қалады .
Салдар. 1. Коэффициенттері шенелген ақырлы сызыұтық тіркестің енетін функциялар көрсеткіштерінің ең үлкенінен аспайды.
шынында да,
екенін ескере отырып, 1,2 теоремар негізінде

Егерде сызықтық тіркестің коэффициенттері тұрақты болып, ал функциялардың біреуі ғана ең үлкен көрсеткішке ие болатын болса , олнда тіркестің көрсеткіші сол үлкенге тең болады. (1-теореманы дәлелдегендей):

3-Теорема. функциясымен оның кері функциясы көрсеткіштерінің қосындысы нөлге тең болуы үшін кезде өрнегінің ақырлы шегі болуы қажетті де жеткілікті.
Дәлелдеуі. Егер
болса, онда мына теңдікке
сүйеніп,
теңдігін аламыз, яғни анықталмаған ақырлы шек бар болады. Егер бар болса, онда яғни орындалады.
1-Анықтама. Егер үшін ақырлы шек
бар болса, онда функциясының көрсеткішін дәл көрсеткіш деп атайды.
4 теорема. Егер функция f(t) дәл көрсеткішке ие болса онда f(t) және g(t)С[0;  функциялар көрсеткіштерінің қосындысына тең болады.
( (3)
Дәлелдеуі.
е –теорема негізінде (4)
болады. Екінші жағынан 3- теореманы ескере отырып, осы 2- теореманы қайта қолдансақ

теңсіздігін аламыз. Ол (4) теңсіздікпен қосылып, (3) теңдікті береді.
Енді көрсеткіштік функция қарастырайық. Оның интегралы (алғашқы бейнесі) түрінде алынсын.
Егер болса, Ал болғанда, болады.
Егер де болса, онда болады да теңдігі орындалмайды. Алайда бұл жағдайда интегралды
түрінде алатын болса, болар еді, теңдік сақталар еді.
Сондықтан Ляпунов интегралдың мынандай ұғымын енгізген.
2- Анықтама. функциясының интегралы деп мына формулалар кезде кезде арқылы анықталатын функциясын атайды.

§3 Сызықтың біртектес жүйе шешімдерінің сипаттаушы көрсеткіштері
Сызықтық біртектес
(1)
дифференциялдың жүйесін қарастырайық. Мұнда ал нақты матрица үзіліссіз: . Әлбетте (1) жүйесінің нөлдік шешімі бар. Оның сипаттаушы көрсеткіші -ке тең......