Геометрия | Геометриялық салу есептеріне қиылысу және алгебарлық әдістерді пайдалану

Мазмұны
Кіріспе.........................................................................................3
I. Тарау.Жазықтықтағы геометриялық салулар және оларды шешу.
§1.Орта мектептегі геометриялық салулар...............................5
§2.Жазықтықтағы нүктелердің геометриялық
орындары (НГО).........................................................................8
§3.Нүктелердің геометриялық орындар әдісімен салу
есептерін шешу...........................................................................18
II. Тарау.Геометриялық салу есептеріне қиылысу және алгебарлық әдістерді пайдалану.
§1.Алгебралық өрнектерді салу................................................30
§2. Салу есептерін алгебралық әдіспен шешу.....................33
III. Қорытынды................................................................................44
I-тарау. Жазықтықтағы геометриялық салулар және оларды шешу әдісітері.
§1.Орта мектептегі геометриялық салулар.
Салу есебі деп, берілген элементтер бойынша геометриялық құралдардың (сызғыш пен циркуль)көмегімен белгілі бір шартты қанағаттандыратын геометриялық фигураларды салуды айтады.
Геометриялық фигураларды салуға V-VI сыныптардан бастап көңіл бөліне бастайды. Циркуль мен сызғышты пайдаланып әр түрлі фигураларды салу орындалады. Геометриялық фигураларды салу қарастырғанда, планиметрияның негізгі курсын оқып үйренуге оқушыларды алдын-ала дайындау мақсаттары көзделген.
VII сыныптағы "Геометриялық салулар"тақырыбы V-VI сыныптағы материалдармен сабақтас, бірақ салуларға ерекше назар аударылып
өтіледі.Үшбұрыштарды салудың әртүрлі жағдайлары қарастырылады. Үшбүрышты салу мүмкін болу үшін ,а+в>с және | а-в | b/;
9) берілген кесіндіні берілген қатынасқа бөлу;
10) берілген үш қабырғасы бойынша үшбүрыш салу;
11) берілген қабырғасымен сол қабырғаға іргелес екі бұрышы бойынша үшбұрыш салу;
12) берілген екі қабырғасы және сол қабырғалардың арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш салу;
13) берілген гипотинузасы мен катеті бойынша тік бұрышты үшбұрыш салу және т.б.
Элементар салулардың 1-6 есептері негізгі салулар деп аталады.Негізгі салулар деп , алдыңғы уақытта кездесетін геометриялық салу есептерін шешуге негіз болатын есептерді айтамыз.
Салу есептерін циркуль мен сызығыштың жәрдемімен шешу үшін ,оны төмендегі әр уақытта шешілетін бес түрлі салу есептерінің біріне келтіруіміз керек:
а) белгілі екі нүкте арқылы түзу сызық салу ;
ә) белгілі екі түзудің қилысу нүктесін салу/егер бұл нүкте бар болса/;
б) белгілі нүктені центр етіп алып, белгілі радиуспен шеңбер салу;
в) белгілі түзу мен белгілі шеңбердің қиылысу нүктелерін салу/егер бұл
нүктелер бар болса/;
г) белгілі екі шеңбердің қиылысу нүктелерін салу /егер бүл нүктелер
болса/
Геометриялық салу есептерін шешу белгілі жүйе (система) бойынша орындалады. Шешудің классикалық схемасы,негізінен 4 кезеңнен тұрады: 1)анализ(талдау);
2) салу (синтез);
3) дәлелдеу;
4) зерттеу,
Геометриялық салу есептерін шешкенде ,оның барлық мүмкін шешуін табу үшін осы схема бойынша орындау керек.
Геометриялық салу есебін шешудегі негізгі кезең -анализ. Анализдің максаты-есептің шешу әдісін іздеу. Анализдің мәні -салу есебінің берілген элементтері мен ізделінетін элементтерінің арасындағы байланысты табу. Салу есебіне анализ жасағанда , сол есепті шешілген деп ұйғару керек. Бұл ұйғарудың графиктік түрі ,есептің шартына сәйкес фигураны кескіндеу болып табылады. Көмекші чертежге /кескініне/ қарап ізделінетін чертежді қалай салу керек екендігін біле бермейміз,мұндай жағдайда көмекші чертежде салуға болатын кейбір бөлігін салу арқылы ізделінетін фигураны саламыз. Есепке анализ жасағанда қажетті теоремаларды және элементар геометриялық салуларды пайдалану қажет.
Геометриялық салу есебіне анализ жасағаннан кейін, есеп шартына байланысты фигураны сала бастаймыз. Ізделінетін фигураны салу үшін ,салу жұмысын біртіндеп орындаймыз. Салу кезінде анализ жасағандағы талдаулар кері ретпен орындалады, олай болса бұл кезеңді синтез деп атауға болады. Салу кезеңінің нәтижесі ізделінетін фигураның чертежі болып табылады.
Салу есебін шешу процесіндегі дәлелдеу кезеңінде салынған фигураның ізделінетін фигура болатындағына логикалық талдау жасалынады. Дәлелдеу кезеңінде жасалынған талдаулардың дұрыстығын анықтаймыз, яғни салынған фигура , есептің шартын толық қанағаттандыратыңдығына көз жеткіземіз .
Салу есебін шешуді анықтайтын маңызды кезең- зерттеу. Бұл кезеңнің негізгі мақсаты , есептің шешуін толықтыру. Зерттеу кезеңінде, есептердің шешімдерінің саны мен ізделінетін фигураның болу шарттары анықталады.
Аталған мәселенің өзектілігі, ғылыми- теориялық және әдістемелік негіздерін айқындау зерттеу жұмысымыздың негізгі мәселесі болып табылады.Осыған орай зерттеу жұмысымыздың тақырыбын “Жазықтықтағы геометриялық салулардың теориясы мен практикасы” деп таңдауымызға себеп болды.
§2. Жазықтықдағы нүктелердің геометриялық орындары.

Ортақ қасиетке ие болатын барлық нүктелердің жиынын нүктелердің геометриялық орны дейді.
1.Берілген О нүктесінен r қашықтықта жататын нүктелердің жиыны, центрі О нүктесінде жатқан, радиусы r-ге тең шеңбер болады (1-сызба).

1сызба
2. Кесіндінің ортасы арқылы жүргізілген перпендикуляр сол кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жататын нүктелердің жиыны болады
(2-сызба).

2-сызба
3.Берілген түзуден Н қашықтықта жататын нүктелердің жиыны берілген түзуге параллель және оның екі жағынан Н қашықтықта жүргізілген екі түзу болады (3- сызба).

3-сызба
4.Берілген екі параллел түзуден d қашықтықта жататын нүктелердің жиыны берілген екі түзуге де параллел - сол түзулердің арасында жататын және әрқайсысынан d қашықтықта жүргізілген түзу болады (4- сызба).

4 сызба
5.Бұрыштың биссектрисасы деп сол бұрыштың қабырғалары бірдей қашықтықта жататын нүктелердің жиыны болады (5- сызба).

5 сызба
6.Берілген О нүктесінен өтетін, радиусы R-re тең шеңберлердің центірлердің жиыны шеңбер болады (6- сызба).

6 сызба

7.Берілген шеңбері жанамасының байында және жанасу нүктесінен d қашықтықта жататын нүктелердің жиыны радиусы R шеңбер болады (7 -сызба).

7 - сызба

8.Берілген түзудің нүктесінде жанасатын шеңберлердің центірлерінің жиыны берілген түзуге оның берілген нүктесі арқылы жүргізілген перпендикуляр түзу болады (8- сызба).


8 сызба
9.Берілген екі нүкте арқылы өтетін шеңбердің центірлерінің жиыны сол берілген нүктелер арқылы жүргізілген кесіндіге оның ортасы арқылы жүргізілген перпендикуляр болады (9- сызба).

9 - сызба
10. Екі қилысатын түзулерінің екеуімен де жанасатын шеңберлердің центірлерінің жиыны сол берілген екі түзумен анықталатын бұрыштардың биссектрисалары болады (10- сызба).

10 - сызба
11. Берілген R радиуспен берілген шеңберді тең екіге бөлетін шеңберлердің центірінің жиыны радиусы -ге тең, сол шеңбермен концентрлі шеңбер болады (11- сызба).

11- сызба
12. Берілген бұрыштардың екі қабырғасынан да тең хордалар қиятын шенберлердің центрлерінің жиыны сол бұрыштың биссектрисасы болады (12-сызба).

12 - сызба
13. Берілген шеңберімен оның берілген М нүктесінде жанасатын шеңберлердің центірінің жиыны ОМ түзуі болады (13-сызба).

13 - сызба
14. Берілген шеңбері берілген α бұрышпен көрінетін нүктелердің жиыны сол шеңберге концентірлі шеңбер болады, берілген бұрыш деп А нүктесінен шеңберге жүргізілген екі жанаманың арасындағы бұрышты айтады (14- сызба).

14 - сызба
15. Берілген кесінді тік бұрышпен көрінетін нүктелердің жиыны шеңбері болады (15 сызба).

15 - сызба

16. Табанындағы бұрышы АВС=β, ол табаны ВС болатын үшбұрыштың A төбелерінің жиыны табанымен β бұрыш жасайтын және В нүктесінен шығатын екі сәуле болады (16 сызба).

16 – сызба.
17. Жазықтықтағы берілген екі нүктеден ара қашықтықтарының қосындысы әрқашанда бірдей санға тең болатын нүктелер жиыны ЭЛЛИПС деп аталады( 17-сызба).


17 - сызба
15.Жазықтықта жатқан белгілі бір Ғ нүктеден және бір D түзуден бірдей қашықтықта жататын нүктелер жиыны ПАРАБОЛА деп аталады (18- сызба), яғни MF=ME

18 - сызба

Ғ нүктесін параболаның фокусы,ал D директрисасы деп аталады. Ғ нүктесі арқылы өтетін директрисаға перпендикуляр түсуді параболаның өсі деп атайды. Фокустан директрисаға дейінгі ара қашықтықты параболаның параметрі p деп атайды. Параболаның анықтамасы бойынша ҒМ=ЕМ.

19. Жазықтық бойында берілген екі нүктеден ара қашықтарының айрымы әрқайсысы бір тұрақты санға тең нүктелердің жиынын ГИПЕРБОЛА деп атайды (19- сызба), .
19- сызба
Жазықтықтың бойында берілген екі нүкте F және Ғ эллипстің және гиперболаның фокустары деп атайды. Эллипс және гиперболаның анықтамасы бойынша әрқашанда

F М+ Ғ2 М =2а

|Ғ М-Ғ М|=2а

а-тұрақты шама ,оны эллипстің немесе гипеболасының жарты өстері деп атайды.
Жоғарыдағы тұжырымдарға геометриялық орындар: эллипс,парабола, гипербола математикада ІІ-ретті қисықтар деп аталады. Осы қасиеттерді біздің эрамызға дейін 300-200 жылдары өмір сүрген грек ғалымдары Архимед, Апаллоний зерттеген.Бұл ғалымдар сол уақыттың, өзінде конустың жазықтықпен қиылысуынан шығатын сызықтарды зерттеген. Дөңгелек эллипс,парабола және гипербола конустың қималары болады.

§3.Нүктелердің геометриялық орындар әдісімен салу есептерін шешу.
1-есеп. Берілген ω ( ) және ω ( ) шеңберлеріне ортақ сыртқы жанама жүргізу.
Нүктелердің геометриялық орындар әдісі мен параллель жылжыту әдісі бірге қолданылатын жағдайды қарастырамыз.
Анализ. А А -іздеп отырған ортақ жанама болсын. Оны салу үшін жанасу нүктесінің біреуін табу керек. Мысалы: А табайық......