Туындының анықтамасы

Анықтама: f функциясы [a,b] аралығында анықталсын. Егер x0 [a,b] үшін нақты мәнді шегі бар болса, онда f функциясын x0 нүктесінде дифференциалданады, ал шектің мәнің f функциясының x0 нүктесіндегі туындысы дейді де, f '(x0) cимволымен белгілейді.
1. Элементар функциялардың туындылары кестесі.
1. f(x)=C C=const =0
2. f(x)=xp =pxp-1
3. f(x)=ax ,
4.

5. f(x)=sin x ,
6. f(x)=cos x ,
7. f(x)=tg x ,
8. f(x)=ctg x ,
9. f(x)=arcsin x ,
10. f(x)=arcos x ,
11. f(x)=arctg x ,
12. f(x)=arcctg x ,

2. Күрделі фунцияның туындысы.
y=f(u) , u=g(x) болса,
Мысал y=sin(x3),

3. Туындының қасиеттері.

Мысал.


4. Дәрежелі – көрсеткіштік функцияның туындысын табуға мысалдар:
Дәрежелі – көрсеткіштік функция.
Бұл көріністегі функцияларды дифференциалдау үшін әуелі теңдікті логарифмнен алынады да одан кейін теңдікті дифференциалданады.
Мысал:


5. Функция графигінің жанамасын табу. у=ƒ(х) функция х0 нүктеде анықталған, және туындысы ƒ‛(х0) бар болса, онда графиктің (х0; ƒ(х0)) нүктесіне сызылған жанама теңдеуі
у= ƒ‛(х0) (х-х0)+ ƒ(х0) көріністе болады
Мысал: у=х2+2 параболаның х=1 нүктесі арқылы өтетін жанама теңдеуін табу керек.
Шешуі: х0=1, ƒ(х0)=ƒ(1)=у(1)=12+2=3
у‛= ƒ‛(х)=(х2+2)‛=2х; ƒ‛(1)= 2•1=2
у=2(х-1)+3=2х-2+3=2х+1 Жауабы: у=2х+1
6. Жылдамдық туралы есеп.
Материалдық нүкте S=S(t) заңмен түзу бойынша қозғалғанда, оның жылдамдығы =’S(t) (белгілі бір t0 моменттегі жылдамдық), үдеуі а= ‛(t) = S’’(t) теңдеулері арқылы есептеледі.
Мысал: S=3t2+4t-1(м) заңмен қозғалған материалдық нүктенің t=2сек моменттегі жылдамдығын анықтау керек.
Шешуі: = S'=(3t2+4t-1)=6t+4
(2) =6•2+4=12+4=16 Жауабы: 16 м/сек
7. Лопиталь ережесі
1. = болса, = орынды болады

1-мысал. =( )=
2. = болады.
2-мысал.

Ескерту. анықталмағандықтарын немесе түріндегі анықталмағандықтарға келтіріп Лопиталь ержесін қолдауға болады.
Мысал.

Егер және дифференциалданатын болса, онда туынды табудың мынадай ережелері орындалады.
10.
20.
30.
40.
20 формуланы дәлелдейік:
және

болғандықтан
міне 20 формуланы дәлелдедік.
Енді мысал қарастырамыз.
1-мысал: функциясының туындысын табу керек.
Шешуі: деп белгілесек, 40 формулаға қойып шығару керек.
болғандықтан,

Есептер шығару.
№1

№2

№3

№4

1-тапсырма: 10 ережені қолдана отырып туындыны табу керек.

2-тапсырма: 40 ережені қолдана отырып туындысын табу керек. ....