Теңдеулер теңдеулер жүйесі

Бір ғана айнымалысы (белгісізі) бар екі өрнектің теңдігімен берілген теңдеулерді шешуді қарастырайық.
Мысалы, 3х+0,8=4х-1,2 және 4х - 2,5 = х - 8,2 теңдеулерінде бір ғана айнымалысы бар екі өрнек теңдік белгісімен теңестірілген. Мұндағы х айнымалы (белгісіз.) Мұндай теңдеулерді ықшамдағанда ах= b түріне келтіріледі
ax=b түріндегі теңдеуді бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу деп атайды. Мұндағы а және b қандай да бір сандар. х - айнымалы.
Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеуді шешу үшін:
1) Теңдеуде жақша болса, жақшаны ашып, бөлшек болған жағдайда теңдеудің екі жағын да бөлімдерінің ең кіші ортақ еселігіне көбейтіп түрлендіру керек.
2) Айнымалысы бар мүшелерді теңдеудің сол жағына , бос мүшелерді теңдеудің оң жағына жинақтау керек .
3) Теңдеудегі ұқсас мүшелерді біріктіріп , теңдеуді келтіру керек.
4) Теңдеудің екі бөлігін де айнымалының коэффициентіне бөліп теңдеудің түбірін табу керек .
15х-2 7х+1 12 .
4 3 2 ,

45х-6=28х+4+24;
45х-28х=28+6;
17х=34;
х=2.
b
I. a=0 ,болса теңдеудің екі жағын да а - ға бөліп , х = a теңдігін жазамыз.Бұл жағдайда теңдеудің бір ғана түбірі бар.
Мысал. 2,3х = 9,2,
х=9,3:2,3 ,
х=4.
Теңдеудің түбірі 4-ке тең.
II.а=0;b=0 болса, теңдеу 0х=b түрінде жазылады. Теңдігі х тің еш бір мәнінде тура болмайды.
Мысалы; 7х +3=7х+5,
7х –7х=5-3,
0*х=2. теңдеудің түбірі болмайды.
III.a=0 және b=0 болса,теңдеу 0х=0 түрінде жазылады. Кез келген санның 0 ге көбейтіндісі 0 ге тең болғандықтан,х-тің кез келген мәнінде теңдік тура болады.Демек,0х =0 теңдеуінің кез келген сан болады. Теңдеудің сансыз көп түбірі бар.
Мысалы; 2х +х –5= 3х-5,
3х-3х=5-5,
0х=0. теңдеудің түбірі кез келген сан.
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу.
3)ax+by=c түріндегі теңдеулерді екі айнымылысы бар сызықтық теңдеулер деп атайды .Мұндағы а ,b және c –қандай да бір сандар ;х және y-айнымалылар .
екі айнымалысы бар теңдеуді тура санды теңдікке айналдыратын айнымалылардың мәндерінің жұбы осы теңдеудің шешімі деп аталады .екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің шексіз көп шешімі болады .
екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің екі жағын да нөлден өзге бір санға көбейткеннен немесе бөлгеннен теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді .
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудегі қосылғыштардың таңбасын қарама қарысы таңбаға өзгеріп , оны теңдеудің бір жағынан екінші жағына көшіргенде теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді .

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйелері.
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін графиктік тәсімен шешу .

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің әрқайсысын тура теңдікке айналдыратын айнымалардың мәндерінің жұбын сол теңдеулер жүйесінің шешімі деп атайды .
Теңдеулер жүйесін шешу дегеніміз оның барлық шешімдерін табу немесе шешімдерінің болмайтынын дәлелдеу.
Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесін шешу үшін: графиктік, алмастыру , қосу тәсілдері қолданылады.
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің әрқайсысы сызықтық функция.сызықтық функция графигі түзу болатындықтан, жүйедегі екі теңдеудің графигі екі түзу болады.
1) Теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің графиктері болатын түзулер өзара қиылысады.
Егер теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің графиктері болатын түзулер қиылысса, онда теңдеулер жүйесінің бір ғана шешімі болады.
2) Теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің графиктері болатын түзулер өзара параллель.
Егер теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің графиктері болатын түзулер өзара параллель болса, онда теңдеулер жүйесінің шешімі болмайды.
3) Жүйедегі теңдеулердің грфигі болатын түзулер беттеседі.
Егер теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің грфиктері болатын түзулер жүйесінің шексіз көп шешімдері бар.

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін алмастыру тәсілімен шешу .
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін алмастыру тәсілімен шешу үшін:
1) теңдеудің біреуіндегі бір айнымалыны екіншісі арқылы (х-ті y арқылы немесе у-ті х арқылы )өрнектеу керек ;
2) табылған өрнекті екінші теңдеудегі осы айнымалының орнына қою керек.сонда бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу шығады;
3) шыққан бір айнымалысы бар сызықтық теңдеуді шешіп, ондағы айнымалының мәнін табу керек;
4) табылған айнымалының мәнін екінші айнымалының өрнегіне қойып, екінші айнымалыны табу керек.
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің біреуіндегі айнымалының коэффициенті 1-ге тең болған жағдайда берілген теңдеулер жүйесін шешу үшін алмастыру тәсілін қолданған тиімді.

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешу
Теңдеулер жүйесінің кез келген теңдеуін, сол жүйедегі теңдеулердің оң бөліктерінің қосындысы оң бөлігі болатын , сол бөліктерінің қосындысы сол бөлігі болатын теңдеумен алмастырғанда теңдеулер жүйесі түрленеді .

Мысалы, 5x-3y=7 5x-3y=7, 9x=18,
4x+3y=11 9x=18 немесе 4x+3y=1.

9x=18 болса,

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешу үшін :
1. айнымаларының біреуінің коэффициенттері (бірінші және екінші теңдеудегі) қарама қарсы сандар болып шығатындай көбейткіштерге жүйенің теңдеулерін көбейту керек ;
2. жүйе теңдеулерінің оң жақтарын және сол жақтарын мүшелеп қосып немесе азайтып, оны бір айнымалысы бар теңдеге айналдыру керек ;
3. шықан бір айнымалысы бар теңдеуді шешіп айнымалының мәнін табу керек;
4. айнымалының біреуінің табылған мәніне сәйкес айнымалының мәнін табу керек .
Теңдеулер жүйесіндегі айнымалыларының біреуінің ғана коэффициенттері қарама қарсы сандар .
Мысал,
3x-2y=6,
6x+2y=30 теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешейік.
Теңдеулердің сол және оң жақтарын мүшелеп қосқанда, 9x=36 бір айнымалысы бар теңдеу шығады.
Теңдеулер жүйесінің қасиеті бойынша

3x –2y=6, 3x-2y=6
6x+2y=30 жүйесі 9x=36 жүйесімен мәндес, онда

3x-2y=6
x=4. x-тің мәнін 3x-2y=6 теңдеуіне қойсақ, 3*4-2y=6,

y=3. қысқаша: 3x-2y=6 3*4-2y=6
6x+2y=30 -2y=-6,
9x=36, y=3 жауабы:x=4; y=3.
x=4.


Теңдеулер жүйесіндегі айнымалылардың біреу коэффициенттері тең.
Мысалы, 2x+5y=16,
2x+7y=20 теңдеулер жүйесін шешейік .
Теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешу үшін теңдеулердің біреуін –1 –ге көбейту керек немесе теңдеулердің біреуінен екіншісін азайту керек.
2x+5y=16, 2x+5y=16,
+ немесе -
-2x-7y=-20 2x+7y=20
-2y=-4 -2y=-4,
y=2 y=2.
У тің табылған мәнін жүйедегі теңдеулердің кез келген біреуіне қоямыз.
Теңдеулер жүйесіндегі айнымалылардың ешқайсысының коэффициенттері өзара тең емес және қарама қарсы сандар емес.
Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесін алгебралық әдіспен шешу.
Екінші дәрежелі екі айнымалысы бартеңдеулер жүйесінің ең қарапайым түрі бірінші дәрежелі, ал екіншісі екінші дәрежелі теңдеу болатын жүйелер .
Мысалы, x+2y=1, жүйедегі бірінші теңдеудің графигі түзу
x-3xy-2y =2 сызық екені белгілі, ал екінші теңдеудің графигі қандай сызық екенін білмейміз . Сондықтан мұндай теңдеулер жүйесін шешудің алгебралық тәслімен қолдануға тура келеді. Мұндай жүйелерді шешудің негізгі жолы ауыстыру тәсілі. Жүйені шешу алгоритмі :
1. Бірінші дәреже лі теңдеуден айныиалының бірін екіншісі арқылы өрнектеп жазады.
2. Табылған өрнекті екінші дәрежелі теңдеудегі айнымалының орнына қояды.Сонда бір айнымалысы бар дәрежесі екіден жоғары емес теңдеу шығады.
3. Шыққан теңдеуді шешкенде айнымалылардың біреуінің мәндері табылады.
4. Осы мәндер арқылы екінші айнымалылардың мәндері табылады.
Жүйенің екі теңдеуі де екінші немесе оданда жоғары дәрежелі болғанда, теңдеулердің негізгі қасиеттерін пайдаланып,қарапайым теңдеулер жүйесіне келтіреді.
Симметриялы теңдеулер жүйесі деп жүйенің әрбір теңдеуіндегі айнымалыларды біріне бірін алмастырғанда өзгеріске ұшырамайтын жүйелері айтады.
Екі айнымалысы бар жүйелердің ішінде қосымша тепе тең түрлендірулерді талап ететін жүйелердің бірі біртекті жүйелер.
Екінші дәрежелі теңдеулер жүйесін шешу.
Егер теңдеулер жүйесінің бір теңдеуінің дәрежесі 2-ге тең , ал екінші теңдеуінің дәрежесі 2-ден артық болмаса, онда бұл теңдеулер жүйесін екінші дәрежелі теңдеулер жүйесі деп атайды.
Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер жүйесі.
Егер теңдеулер жүйесінің кемінде бір теңдеуі сызықтық теңдеу болмаса,оны сызықтық емес теңдеулер жүйесі деп атайды.
Сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешудің бір неше тәсілдері бар.олардың бәріне ортақ нәрсе берілген жүйеден оған қарағанда әлде қайда қарапайым жүйеге көшу болып табылады.
Сондай тәсілдердің бірі ауыстыру тәсілі.
Ол үшін былай істейді:
1. бірінші дәрежелі теңдеудегі бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектейді;
2. арналған өрнекті екінші теңдеуге апарып қояды, нәтижесінде бір айнымалысы бар теңдеуге келеді;
3. алынған бір айнымалысы бар теңдеуді шешеді;
екінші айнымалының сәйкес мәнін табады.
Теңдеулер жүйесін шешудің жиі қолданылатын тәсілдерінің бірі графиктік тәсіл . Бұл тәсілді қолданғандар жүйедегі теңдеулердің бір айнымалысын аргумент, ал екінші айнымалысын функция деп қарап , жүйедегі екі теңдеудің де графиктерін бір тікбұрышты координаталар жүйесіне саламыз .
Сонда жүйедегі теңделер графиктерінің қиылысу нүктелерінің координаталары берілген жүйенің шешімдері болады. Ал жүйедегі теңдеулердің графиктері қиылыспаса, онда жүйенің шешімі болмайды.....