Математика | Арифметикалық прогрессияның анықтамасы

Арифметикалық прогрессия

1. Тізбектер.
Жұп оң сандарды өсу ретімен теріп жазайық. Ондай бірінші сан 2, екіншісі 4, үшіншісі 6, төртіншісі 8, т.с.с.
Сонда
2; 4; 6; 8; ...
тізбегі шығады.
Бұл тізбекте бесіншісі орында 10, оныншы орында 20, жүзінші орында 200 саны тұратыны айқын. Жалпы алғанда кез келген n натурал саны үшін оған сәйкес болатын жұп оң санды көрсетуге болады, он 2n – ге тең.
Тағы да бір тізбек қарастырайық. Алымы 1 – ге тең дұрыс бөлшектерді кему ретімен теріп жазайық:
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; ...
Кез келген натурал сан үшін біз оған сәйкес болатын бөлшекті көрсете аламыз; ол бөлшек 1/n + 1 – ге тең. Сөйтіп, алтыншы орында – 1/7 бөлшегі, отызыншы орында – 1/31 бөлшегі, мыңыншы орында – 1/1001 бөлшегі тұруы тиіс.
Тізбекті құрайтын сандар реті бойынша тізбектің бірінші, екінші, үшінші, төртінші, т.с.с. мүшелері деп аталады. Тізбектің мүшелерін әдетте мүшенің реттік нөмірін көрсететін бар әріптермен белгілейді. Мысалы, а , а , а , а , т.с.с. Жалпы тізбектің n нөмірлі мүшесін немесе тізбектің n – ші мүшесі деленді а n деп белгілейді. Тізбектің өзін былай белгілейміз (а ).
Тізбектің мүшелер саны шектеулі болуы мүмкін екенін ескертеміз. Мұндай жағдайда оны шектеулі тізбек деп атайды. Шектеулі тізбекке екі таңбалы сандар тізбегі мысал бола алады:
10; 11; 12; 13; ... ; 98; 99.
Тізбекті беру үшін, оның кез келген нөмірлі мүшесін табуға мүмкіндік туғызатын тәсілді көрсету керек.
Тізбекті көбінесе тізбектің n – ші мүшесінің формуласы арқылы береді. Мысалы, жұп оң сандардың тізбегін а = 2n, алымы 1 – ге тең дұрыс бөлшектер тізбегін Вn = 1/ 1 + n формуласымен беруге болады. Басқа мысалдар келтірейік.
1. Мысал. Тізбек у = n - 3n формуласымен n берілген болсын n – нің орнына 1, 2, 3, 4, 5 ... натурал сандарын қойып, мынаны шығарып аламыз:
у = - 2; у = - 2; у = 0; у = 4; у = 10; ...
Қарастырып отырған тізбек былай басталады:
- 2; - 2; 0; 4; 10; ...
2 – мысал. Тізбек Х = (- 1) · 10 формуласымен берілген болсын. Осы тізбектің тақ нөмірлі барлық мүшелері – 10 – ға, ал жұп нөмірлі мүшелері 10 – ға тең:
х = - 10, х = 10, х = - 10, х = 10.
Мына тізбекті аламыз
- 10; 10; - 10; 10; - 10; ...
3 – мысал.
(С ) = 5 формуласымен барлықмүшесі 5 – ке тең тізбек былай жазылады:
5; 5; 5; 5; ...
Тізбектің берілуінің тағы бір тәсілін қарастырайық.
4 – мысал. ( а ) тізбегінің бірінші мүшесі 3 – ке тең, ал әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінің квадратына тең болсын, яғни
а = 3, а = а
а = а формуласының көмегімен тізбектің белгілі бірінші мүшесі бойынша екінші мүшесін, сонан соң екінші мүшесі бойынша үшіншісін, үшінші мүшесі бойынша төртіншісін, т.с.с. есептеп шығаруға болады. Сонда 3; 9; 81; 65; 61; ... тізбегін шығарып аламыз.
Тізбектің қандай да бір мүшесінен бастап, кез келген мүшесін алдыңғы мүшелері арқылы өрнектейтін формуланы рекурренттік формула деп атайды.
Арифметикалық прогрессияның анықтамасы.
Арифметикалық прогрессияның n – ші мүшесінің формуласы.
5 – ке бөлгенде 1 қалдық қалатын натурал сандар тізбегін қарастырайық.
1; 5; 9; 10; 13; 17; 21; ...
Екіншісінен бастап оның әрбір мүшесі өзінің тікелей алдындағы көршілес мүшеге 4 санын қосқаннан шығады. Бұл тізбек арифметикалық прогрессияға мысал болады.
Басқаша айтқанда, егер кез келген натурал n үшін.
а = а + d
(мұндағы d – қандай да бір сан) шарты орындалса, онда ( а ) тізбегі арифметикалық прогрессия болады.
Арифметикалық прогрессияның анықтамасынан екіншісінен бастап кез келген мүшесі мен оның алдындағы мүшенің айырымы d – ға тең, яғни кез келген натурал n үшін
а - а = d
теңдігі тура екендігі шығады, d саны арифметикалық прогрессияның айырымы деп аталады.
Арифметикалық прогрессияны беру үшін оның бірінші мүшесі мен айырымын көрсету жеткілікті.
Мысалдар келтірейік
Егер а = 1 және d = 1 болса, онда мүшелері тізбектес натурал сандар болатын.
1; 2; 3; 4; 5; ...
арифметикалық прогрессия шығады.
Егер а = 1 және d = 2 болса онда
1; 3; 5; 7; 9; ...
оң тақ сандардың тізбегі болатын арифметикалық прогрессия шығады.
Егер а = - 2 және d = - 2 болса онда берілген
- 2; - 4; - 6; - 8; 10; ...
теріс жұп сандар тізбегі болатын арифметикалық прогрессия шығарып аламыз.
Егер а = 7; d = 0 болса, онда
7; 7; 7; 7; 7; ...
арифметикалық прогрессия шығады, оның барлық мүшелері бір – біріне тең.
Арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі мен айырымын біле отырып, екінші, үшінші, төртінші т.б. мүшелерін ретімен есептеп шығарып, оның кез келген мүшесін табуға болады. Алайда прогрессияның нөмірі үлкен мүшесін табу үшін бұл тәсіл қолайсыз. Есептеу жұмысы аз тәсілді табуға тырысайық.
Арифметикалық прогрессиның анықтамасы бойынша.
а = а + d
а = а + d = (d + d) + d = а + 2d
а = а + d = (а + 2d) + d = а + 3d
Дәл осылайша а = а +5d екендігін табамыз, жалпы алғанда, а -ді табу үшін а - ге (n – 1)d өрнегін қосу керек, яғни
а = а + d(n – 1)
Арифметикалық прогрессияның n – ші мүшесінің формуласын алдық.
Осы формуланы пайдалана отырып, есептеп шығаруға мысалдар келтірейік.
1 – мысал. (С ) тізбегі с = 0,62 және d = 0,24 болатын арифметикалық прогрессия. Осы прогрессияның елуінші мүшесін табамыз. Сонда:
С = 0,62 + 0,24(50 – 1) = 12,38
2 – мысал. – 122 саны
23; 17,2; 11,4; 5,6; ...
(Х ) арифметикалық прогрессияның мүшесі болама, осыны анықтайық.
Берілген арифметикалық прогрессияның мүшесі бола ма, осыны анықтайық.
Берілген арифметикалық прогрессияда х = 23 және d = х - х = 17,2 – 23 = - 5,8
Прогрессияның n – ші мүшесінің формуласын жазамыз.
Х = 23 – 5,8(n – 1), яғни
Х = 28,8 – 5,8n
Егер 28,8 – 5,8n өрнегінің мәні – 122 – ге тең болатын натурал n саны бар болса, онда – 122 саны (х ) арифметикалық прогрессияның 26 – мүшесі болып табылады.
Арифметикалық прогрессияның n – ші мүшесінің а = а + d(n – 1) формуласын басқаша.
а = dn + (а - d)
түрінде жазуға болады. Бұдан кез келген арифметикалық прогрессияның.
а = kn + b
(мұндағы k мен b – қандай да бір сандар) түріндегі формуламен беруге болатыны шығады.
Керісінше де дұрыс болады.
а = kn + b
түріндегі формуламен берілген (а ) тізбегі арифметикалық прогрессия болып табылады (мұндағы k мен b – қандай да бір сандар).
Шынында да, (а ) тізбегінің (n + 1) – ші және n – ші мүшелерінің айырымын табамыз.
а - а = k(n – 1) + b – (kn + b) = kn + k + b – kn – b = k
Демек, n кез келген сан болғанда а = а + k
Теңдігі дұрыс және анықтама бойынша (а ) тізбегі – арифметикалық прогрессия. Бұл прогрессияның айырымы k – ға тең.
Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесі қосындысының формуласы.

Алғашқы жүз натурал санның қосындысын табу керек болсын. Сандарды қосуды тікелей орындамастан, есепті қалай шығаруға болатынын көрсетейік.
Іздеген қосындыны S арқылы белгілейміз де, оны алдымен өсу ретімен, сонан соң кему ретімен орналастырып, екірет жазып шығамыз.
S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
бірінің астына бірі орналасқан әрбір қос санның қосындысы 101 – ге тең. Мұндай жұптардың саны 100 – ге тең
2S = 101 · 100, S = 101 · 100/2 = 5050
Сонымен,
1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 5050
Осыған ұқсас пайымдаулардың көмегімен кез келген арифметикалық прогрессияның алғашқы мүшелерінің қосындысын таба аламыз. (а ) арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесі қосындысын S деп белгілеп, осы қосындыны екі рет жазамыз, бірінші жағдайда қосылғыштарды олардың көмірлерінің өсу ретімен ал екінші жағдайда кему ретімен орналастырамыз.
S = а + а + а + а + ... + а + а
S - а + а + а + а + ... + а + а
Прогрессияның бірінің астына бірі орналасқан әрбір қос мүшесінің қосындысы а + а болды.
Шынында да,
а + а = (а + d) + (а - d) = а + а
а + а = (а + d) + (а - d) = а + а = а + а
а + а = (а + d) + (а - d) = а + а = а + а
Мұндай жұп сандар n – ға тең. Сондықтан (1) мен (2) теңдіктерді мүшелеп қосқан.
2S = (а + а ) · n
Соңғы теңдіктің екі бөлігін 2 – ге бөлсек, арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы шығады.
S = (а + а ) · n/ 2
Егер арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі мен айырымы берілсе, онда қосындының басқа түрдегі формуласын қолданған ыңғайлы (1) формуладағы а - ның орнына а + d (n – 1) өрнегін қойсақ шығатыны.
S = а + а + d(n – 1)n/ 2
яғни
S = 2а + d(n – 1)/ 2 · n ....