Техникадағы сандық тәсілдер

Жобалау процессіндегі ЭММ-ң ролі.

Жобалау процессінің негізгі кезеңдерін қарастырамыз. Инженер жұмысында жаңа өнім шығару үшін немесе технологиялық процессті жобалау үшін, әрі халықтың қанағатын қанағаттандыру үшін ғылым бас ұруға тура келеді, себебі инженер есебі лайықты шешім табуды талап етеді және оны сондай түрде көрсету керек болады, содан кейін өнім шығаруға бірден көрісуге болатындай болу керек. Жобалау процессінің кезеңдері сурет-1-де көрсетілген. Біз бірден байқаймыз: жобалау мүлкін шешімдерді зерттеуден басталатындығы.

Қанағатты Жобаны Модельді Модель Жобаны
ескеру жасау құру қасиеттерін өндіріске
зерттеу беру (жіберу)
Интеротивті цикл
Жобаны қайтадан құр

Сурет-1. Жобалау процессі.

§ 2 Алгебралық және трансцендентік (уровнений)
теңдеулерді сандық шешу.

Кіріспе
Инженерге көбіне алгебралық және трансценденттік теңдеулерді шешуге тура келеді, бұл – негізінен күрделі есептердің құрамды бөлігі болып келеді. Осы екі жағдайларда сандық тәсілдің іс жүзіндегі бағасы көптеген мөлшерде шешімнің алунуы тездетуі мен тиімділігімен анықталады.
Нақты алгаритімнің таңдамалы болуы теңдеулердің шешімі үшін қарастырылатын есеп түріне тікелей байланысты. Алгебралық және трансцендентік теңдеулердің шешіміне әкеп соғатын есептерді олардың санына және біздің қалайтын есеп түріне байланыстылығы және шешімдер санына байланысты жіктеуге (классификациялауға) болады.
Сурет – 2-де теңдеулердің классификациялау түрі немесе схемасы көрсетілген.


Алгебралық және трансцендентік теңдеулер


Бір теңдеу Теңдеулер
жүйесі

Сызықты Сызықсыз
(бір шешім) Сызықты
(бір шешім)
Алгебралық


Транцендентіік Сызықсыз
(шешімдер саны (бірнеше шешімдер)
анықталмаған)


Сурет-2. Теңдеулер классификациясы


Бір теңдеуді сызықты, алгебралық немесе трансценденттік деп атаймыз мынағанбайланысты: ол бір шешім, n шешімдер немесе анықталмаған сан шешімдерін қабылдайтын болса. Теңдеулер жүйесін сызықты немесе сызықсыз деп атаймыз теңдеулерге кіретін теңдеулердің математикалық табиғатына байланысы.



§3. Сызықсыз теңдеудің түбірлері.

Жай кезде сызықсыз теңдеулерді трансценденттік және алгебралық теңдеулергебөледі. Дегенмен, олар бір және сол сияқты тәсілдермен шешіледі, оған қарамастан біздер жеке-жеке қарастырамыз, себебі алгебралық теңдеулер шешімдері ерекше қасиеттермен өрнектеледі. Тригонометриялық функцияларды ұстайтын сызықсыз теңдеулер, мысалы
Lgх немесе х, трансценденттік теңдеулер деп аталады. Осындай сызықсыз теңдеулер шешу тәсілдері тура және итеративті тәсілдер деп бөлінеді.
Бірнеші тәсілдер бірден тікелей формулалар көмегімен шешім табуға жағдай жасайды және әрқашан дәл шешімді алуға қамтамассыз етеді. Бұған жататын мысал квадраттық теңдеудің формуласы жатады немесе есептеледі.
Итеративті тәсілдерде кейбір алгаритмді бірнеше қабат қолдану арқылы шешім процедурасын алуға болады. Алынған шешім әрқашан жуықтатылған болып саналады, соған қарамастан дәл шешімге өте жақын болады. Интеративті тәсілдер ЭКЖ-да іске асыруға ең ыңғайлы және сондықтан оны нақты қараймыз. Әрбір жоғарыда көрсетілген тәсілдер шығарылатын есеп мәні теңдеудің f(х) = 0 нақты түбірін табуда.

§4. Жартылай бөлу тәсілі.

Ол келесі операциялардан тұрады. Алдын ала х осіндегі тең интервалдар орналасқан нүктелердегі функциялар мәндер есептеледі. Бұл сол уақытқа дейін істеледі функцияның біртіндеп орналасқан мәндерін f(хn) және f(х) болмайды, олардың мәндері қарама-қарсы болмай. (Естеріңізге түсіреміз: егер функция үзіліссіз болса, таңбаның өзгеруі түбірдің бар екендігін көрсетеді).
Одан кейін формула бойынша
xn+1+xn
Хорт=──────
2

Мәндер интервалында [хn, xn+1] х-ң орта мәні есептеледі және функцияның f(хор) мәні табылады.
Егер f(хор) таңбасы f(хn) таңбасымен бірдей болса, онда әрі қарай f(хn) орнына f(хор) пайдаланылады.
Егер де f(хор) таңбасы f(хn) таңбасына қарама-қарсы болса, яғнионың таңбасы f(хn+1) таңбасына дәл келсе, онда f(хор) функциясында бұл функция мәні ауыстырылады. Нәтижесінде интервал табамыз, онда түбір мәні қысымда болады.
Егер f(хор) жеткілікті түрде нольге жақын болса, процесс бітеді, ал қарсы жағдайда ол әрі қарай жалғаса береді.
Сурет - 3-де осы процедура графикалық түрде көрсетілген. Дегенмен, жартылай бөлу тәсілі есептеу жоғарғы тиімділікпен қамтамасыз етілмесе де, ол итерация саны өскен сайын түбірден жуықтау мәнінің алуына одан әрі әсер жасайды. Бірінші рет сондай интервал табылады, онда оның көлденеңі N итерациядан кейін 2N рет кемиді (төмендегі сурет -3-ші қараңыз).

Сурет-3. Жартылай болу тәсілі.


§ 5 (Метод хорд.) Хордалар тәсілі.

Бұл тәсілдің негізінде функцияның екі мәні бойынша, әрі өнердің әр турлі таңбалары бар кезінде сызықты интеркалеция жатыр. Түбір іздегенде бұл
тәсіл көбіне тез үлестікті қамтамасыз етеді, алдында көрсетілген тәсілге қарағанда. Есептеу былайша жүргізіледі . Бастапқыда х осінде тең интервалдар бойынша нүктелердегі функцияның мәні анықталады. Бұл сол уақытқа дейін жүргізіледі екі тізбекті функцияның f(xn) f(xn+1) табылғанша, әрі олардың таңбалары әртүрлі болыуы қажет. Осы екі нүкте арқылы жүргізілген түзу ось х-ті мцына мәнде қиып өтеді
xn+1 - xn
x*=xn-f(xn) ──────── .
f(xn+1) – f(xn)

Бұл аргументтің мәні функцияның f (x*) мәнін анықтауға қолдалынады, ол функциялардың f(xn) және f(xn+1) мәндерімен салыстырылады және одан әрі солардың ішінен ол таңба бойынша дәл келеді.
Егер f (x*) мәні нольге жеткілікті жақын болмаса, онда барлық процедура (қимыл-әдістер) сол уақытқа дейін қайталанады, әзірше қажетті үлестік дәрежесіне жеткенше сурет-4-де шешім процесі графикалық түрде көрсетілген.

Сурет-4. Хордалар тәсілі.


§6. Ньютон тәсілі (жанамалы тәсілі)

Тізбектеп жақындату тәсілі, негізін Ньютон жасаған, итеративті алгаритімдерді құруда өте кең түрде қолданады. Бұл тәсілдің алдыңғы екі тәсілден ерекшелігі түбір тұрған интервалды іздеуде әртүрлі таңбалы функциялар мәндерін табу қажет емес. Ньютон тәсілінде екі белгіні функция мәндері бойынша итерация орнына жанама арқылы қисыққа берілген нүктеде экстрополяция жүзеге асырылады.
Тәсілдің негізінде функцияны f (x) Тэйлер қатарына жақтау жатады:

f (xn+h)=f (xn)+hf ((xn)+ h2,2 fn(xn)+…..

h ұстайтын екінші және одан жоғарғы дәрежелі мүшелер алынып тасталады; мына өрнек қолданылады: хn+h=xn+1
Тұжырымдалады хn-нен xn+1-ге өтуфункция мәні нольге жуықтатады, олай болса, f хn+h=0. Онда xn+1= xn= f (xn) f′(xn).
xn+1 мәні нүктеге сәйкес келеді, онда қисыққа жүргізілген жанама xn нүктесінде ось х-ті кесіп өтеді. Сол себепті қисық f (x) түзуден өзгеше, онда f(xn+1) функция мәні дәлірек айтсақ нольге тең болмайды. Сондықтан барлық процедура (қимыл-әдістер) қайталанады, әрі бұл кезде xn орнына xn+1 қолданылады. Есептеу f(xn+1) мәнінің жеткілікті түрде аз болғандағы жағдайда тоқтатылады. Сурет-5-те теңдеуді шешу проуессін Ньютон тәсілінен жүргізгеніміз графикалық түрде көрсетілген. Осыдан әбден түсінікті, үйлестік жылдамдығы (быстрота сходимости) үлкен мөлшерде бастапқы нүктені дұрыс таңдағанымызға байланысты.
Егер итерация процессінде жанаманың қисаю бұрышының тангенсі нольге тең болса, онда тәсілді қолдану қиынға соғады. Одан әрі мынаны да көрсетуге болады, f′(x) шексіз үлкен болғанда да тәсіл сол сияқты тиімді болмайды. Бір-біріне тең түбірлер кезінде f (x) = f′(x) =0 болады, онда бұл жағдайда Ньютон тәсілі үлестікті қамтамасыз ете алмайды. ....