Вычисление отсчетов Теоремы Котельникова

[quote] Введение..........................................................................2
1 Теоретическая часть...........................................................................................4
1.1 Виды сигналов. Приоритеты использования дискретных сигналов.................................................4
1.2 Дискретизация непрерывных сигналов по В.А.Котельникову.........6
1.2.1 Непрерывные сигналы………………………………………………6
1.2.2 Сигналы с дискретным временем………………………………….8
1.2.3 Теорема Котельникова……………………………………………...9
1.3 Восстановление дискретизированных сигналов……………………11
1.3.1 Интерполяция……………………………………………………….14
1.4 Погрешности, возникающие при дискретизации, квантовании и воспроизведении непрерывных сигналов...............19
1.4.1 Оценка ошибок квантования……………………………………….20
2 Расчетная часть...................................................................................................22
2.1 Определение интервала дискретизации непрерывного сигнала по В.А Котельникову....................................22
2.2 Вычисление отсчетов Котельникова и построение по ним графика сигнала...............................................23
2.3 Вычисление погрешности воспроизведения заданного сигнала в момент времени tx, возникающей за счет дискретизации по времени и восстановление его по отсчетам Котельникова в дискретизаторе (ФНЧ).....………………23
2.4 Модулирование сигнала.......................................................................26
2.4.1 Частотная модуляция.........................................................................26
Заключение.............................................................................................................33
Список использованной литературы...................................................................34
ВВЕДЕНИЕ
К важнейшим достижениям человеческой цивилизации в XX столетии относится создание предпосылки становления в XXI веке Информационного общества. Одной из ключевых фигур в этом процессе является выдающийся отечественный ученый акад. В. А. Котельников, который живет, говоря словами другого выдающегося ученого – акад. А. Н. Колмогорова, "всегда руководствуясь тезисом, что истина – благо, что наш долг – ее находить и отстаивать".
Одним из фундаментальных результатов теории связи является доказанная В. А. Котельниковым в 1933 г. теорема отсчетов, согласно которой сообщение, представляющее собой функцию с ограниченным спектром, может быть однозначно представлено своими значениями, взятыми через равные промежутки времени. Опубликованная в Трудах конференции, эта теорема была через 15 лет вновь открыта К. Шенноном. Важнейшей операцией над аналоговым сообщением, которое должно быть передано по цифровым системам связи, является его представление своими отсчетами. Цифровые системы связи в конце XX столетия пришли на смену аналоговым и приобрели, в силу своих огромных преимуществ, глобальный характер. Современное оборудование различного назначения (устройства связи, измерительная техника и т. п.), в котором осуществляется обработка и преобразование сигналов, в настоящее время является цифровым и содержит узлы, осуществляющие взятие отсчетов сигналов, поступающих на вход соответствующих устройств. Связь в широком смысле представляет собой передачу различного вида сообщений из одного или нескольких пунктов в другой или в ряд других пунктов. Сообщения содержат некоторые сведения (информацию), которые для разных получателей могут представлять различную ценность в зависимости от их смыслового содержания. Средств связи является только передача сообщений в определенное место, поскольку оценка смыслового содержания полученных сообщений - дело самого получателя.
Теория и техника передачи информации складывались в течение многих лет и в настоящее время продолжают быстро развиваться. Это развитие происходит в условиях усиливающегося взаимодействия между различными областями науки и техники (радиотехники, физики, вычислительной техники, автоматики и т.д.). Такой процесс, являющийся объективным проявлением особенностей современной научно-технической революции, приводит к ломке многих традиций в инженерном мышлении, способствует развитию системного подхода к решению задач, относящихся к проблеме передачи информации.
Современные системы передачи информации - весьма сложные устройства, и их создания связано с большими затратами средств. Поэтому при проектировании систем нужно учитывать перспективы развития техники связи и предусматривать возможность использования таких систем не только автономно. Но и в составе сложных информационных комплексов. Сетей связи и т.п.
Усложнение и совершенствования систем связи и расширение областей их применения заставляют уделять большое внимание вопросам стандартизации и унификации параметров систем не только в пределах одной страны, но и в международном масштабе.
Неиссякаемая созидательная энергия В. А. Котельникова, его научные идеи дали начало потоку новых научных разработок других ученых – его последователей. Число ученых, исследования которых были инициированы научными идеями В. А. Котельникова, весьма значительно. Эти идеи привлекали ученых не только возможностью получения новых результатов, имеющих важное прикладное значение, но еще и тем, что А. Эйнштейн называл "музыкальностью мысли" или "внутренним совершенством" теории. Благодаря В. А. Котельникову, открывшему новые направления в науке, были созданы предпосылки для становления на Земле в XXI столетии Информационного общества, перед учеными открылись новые горизонты, а в мире прибавилось гармонии.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1.1 Виды сигналов. Приоритеты использования дискретных сигналов.
Сигнал – это физический процесс (например, изменяющиеся во времени токи и напряжения), содержащий в себе некоторую информацию. Любой сигнал можно описать математической функцией.
Существуют аналоговые, дискретные и цифровые сигналы:
Рис. 1.1. Сигналы, произвольные по величине и по времени (а), произвольные по величине и дискретные по времени (б), квантованные по величине и непрерывные по времени (в), квантованные по величине и дискретные по времени (г).
Аналоговые сигналы (сигналы, произвольные по величине и непрерывные по времени, рис. 1.1-а) описываются непрерывной во времени функцией , которая может принимать любые значения в определенном интервале. Поскольку эти сигналы могут иметь разрывы непрерывности, то чтобы избежать некорректности при описании, лучше эти сигналы обозначать термином континуальный сигнал.
Дискретные сигналы (сигналы, произвольные по величине и дискретные по времени, 1.1-б), представляют собой последовательности или отсчеты функции , взятые в определенные дискретные моменты времени nT. Таким образом, термин «дискретный» характеризует не сам сигнал, а способ задания его на временной оси.
Из рис. 1.1, в видно, что сигнал задан на всей временной оси, однако величина сигнала может принимать лишь дискретные значения. В подобных случаях говорят о сигнале, квантованном по уровню (сигналы, квантованные по величине и непрерывные по времени, рис. 1.1-в).
Квантование используют при представлении сигналов в цифровой форме с помощью цифрового кодирования, поскольку уровни можно пронумеровать числами с конечным числом разрядов. Поэтому дискретный по времени и квантованный по уровню сигнал (сигналы, квантованные по величине и дискретные по времени, рис. 1.1-г) в дальнейшем часто будет называться цифровым сигналом.
Таким образом, можно различать континуальные (рис. 1.1-а), дискретные (рис. 1.1-б). Квантованные (рис. 1.1-в) и цифровые (рис. 1.1-г) сигналы.
1.2 Дискретизация непрерывных сигналов по В.А.Котельникову.
При передаче непрерывных сообщений по системам связи c использованием импульсной модуляции или кодирования возникает необходимость дискретизации сообщений по времени. В последнее время необходимость дискретизации непрерывных сигналов объясняется развитием методов квантования, дискретного анализа формы сигналов, развитием цифровой и вычислительной техники.
Сущность дискретизации заключается в том, что непрерывность во времени функции s(t) заменяется последовательностью коротких импульсов, амплитуды которых (координаты) ск в общем случае определяются с помощью
дискретных весовых функций xк(t) .
Воспроизведение непрерывной функции по ее дискретным координатам производится с помощью системы базисных функций Иногда весовые и базисные функции принимают одинаковыми Ввиду сложности определения координатных функций более широкое распространение получили методы дискретизации, при которых сигнал s(t) заменяется совокупностью его мгновенных значений , называемых выборками, или отсчетами. Роль весовых функций в этом случае играют d-функции , Dt - шаг дискретизации (может быть неравномерным). . Шаг дискретизации должен быть таким, чтобы было возможно восстановление непрерывной функции по ее отсчетам с допустимой точностью.
1.2.1 Непрерывные сигналы.
Непрерывные сигналы описываются непрерывными функциями времени. Мгновенные значения таких сигналов изменяются во времени плавно, без резких скачков (разрывов). Пример временной диаграммы непрерывного сигнала приведен на рис.1.3-а. Сигналы, временные диаграммы которых изображены на рис.1.2, не являются непрерывными, поскольку их мгновенные значения в некоторые моменты времени изменяются скачками. Многие реальные сигналы являются непрерывными. К таковым можно отнести, например, электрические сигналы при передаче речи, музыки, многих изображений.
Дискретизация, квантование непрерывного сигнала: а – непрерывный сигнал; б – дискретный по времени (импульсный) сигнал; в – дискретный по времени и по значениям (цифровой) сигнал; г – ошибка квантования
1.2.2 Сигналы с дискретным временем.
Их можно получить из непрерывных, выполняя над последними специальное преобразование, называемое дискретизацией по времени. Смысл этих преобразований проиллюстрируем с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.1.3. Будем считать, что можно измерить мгновенные значения сигнала u(t) в моменты времени Δt, 2Δt, 3Δt…; Δt называют интервалом дискретизации по времени. Измеряемые значения u(Δt), u(2Δt), u(3Δt) отмечены на рис.1.3-а точками. По этим значениям можно сформировать последовательность коротких прямоугольных импульсов, длительность которых одинакова и меньше интервала дискретизации Δt, а амплитуды равны измеренным значениям сигнала u(t). Последовательность таких прямоугольных импульсов изображена на рис.1.3-б и часто называется импульсным сигналом или сигналом с дискретным временем. Такой сигнал будет обозначен символом uΔ(t). Отметим, что шаг дискретизации по времени здесь постоянен и равен Dt, а амплитуда каждого импульса равна мгновенному значению сигнала u(t) в соответствующий момент времени. Поскольку непрерывный сигнал u(t) в выделенные моменты времени может принимать любые значения, то и амплитуды импульсов импульсного сигнала, полученного из непрерывного путем дискретизации по времени, также могут принимать любые значения: На рис.1.3-б значения амплитуд импульсов указаны с точностью лишь до одного десятичного знака после запятой. Для точного указания значения амплитуд импульсов может потребоваться неограниченное число десятичных знаков после запятой, т.е., значения амплитуд импульсов заполняют непрерывно некоторый интервал. Поэтому амплитуды импульсов сигнала uΔ(t) иногда называют непрерывными величинами.
1.2.3 Теорема Котельникова.
Поскольку дискретные сигналы широко используют в настоящее время при передаче сообщений, а многие реальные сигналы являются непрерывными, то важно знать: можно ли непрерывные сигналы представлять с помощью дискретных; можно ли указать условия, при которых такое представление оказывается точным. Ответы на эти вопросы дает доказанная в 1933 г. советским ученым В.А.Котельниковым теорема, являющаяся одним из фундаментальных результатов теоретической радиотехники. Эта теорема формулируется следующим образом: если непрерывный сигнал u(t) имеет ограниченный спектр и наивысшая частота в спектре меньше, чем fв герц, то сигнал u(t) полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на 1/(2fв) секунд.
Смысл теоремы Котельникова поясним с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.1.3-а. Пусть это будет часть временной диаграммы сигнала u(t) с ограниченным спектром и с верхней граничной частотой fв. Если интервал дискретизации Δt

Толық нұсқасын 30 секундтан кейін жүктей аласыз!!!

Қарап көріңіз 👇