Тригонометриялық теңдеулерді және олардың жүйелерін шешу әдістері (Алгебра, 10 сынып, I тоқсан)

Пән: Алгебра
Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі: Тригонометриялық теңдеу
Сабақ тақырыбы: Тригонометриялық теңдеулерді және олардың жүйелерін шешу әдістері
Оқу мақсаттары (оқу бағдарламасына сілтеме): 10.2.3.12 біртектес тригонометриялық теңдеулерді шеше алады
Сабақ мақсаттары: Оқушылар біртекті тригонометриялық теңдеулердің анықтамасымен танысады және біртекті тригонометриялық теңдеулерді шешу тәсілдерін меңгереді.

І. Ұйымдастыру.
Амандасу. Көңіл күйлерін смайликтер арқылы білу.
Үй тапсырмасын, оқушылар бір-бірінің дәптерлерін қарап тексереді.
І. Ой – түрткі:
Тригонометриялық теңдеу дегеніміз не?
Қарапайым тригонометриялық теңдеу дегеніміз не?
Тригонометриялық теңдеуді шешу дегеніміз не?
y= sin x және y= cos x функциясына кері функцияны ата?
y= tg x және y= ctg x функциясына кері функцияны ата?
Тригонометриялық теңдеулер мен алгебралық теңдеулердің арасында қандай айырмашылық бар?
Тригонометриялық теңдеулер шешімінің шексіз көп болу себебі неде? Алгебралық теңдеулерде осындай жағдайлар кездесе ме?
Тригонометриялық теңдеудің екі жақ бөлігінде көбейткіш ретінде бірдей тригонометриялық функция берілген жағдайда қандай түрлендіру қолданады?
2sin x + cos x = 3 теңдеуі қарапайым тригонометриялық теңдеуге жата ма?

Біртекті тригонометриялық теңдеулер.
Оқушыларды біртекті тригонометриялық теңдеулердің анықтамасымен таныстырамын:
Анықтама:
(1) түріндегі теңдеу u мен v-ға байланысты n- дәрежелі біртектес теңдеу деп аталады.
Егер және болса, онда (1) түріндегі теңдеуді біртектес тригонометриялық теңдеу деп атайды.
asinx+ bcosx = 0 (бірінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеу);
asin2x + bsinxcosx+ с cos2x = 0 (екінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеу).
1-мысал:
Теңдеуді шешіңіз: 2 sin x – 3 cos x = 0.
Шешуі:
Теңдеудің екі жағында cos x – ке бөлеміз.
2 sin x 3 cos x 0
———— – ———— = ———
cos x cos x cos x
2 tg x – 3 = 0
2 tg x = 3
3
tg x = —
2
3
x = arctg — + πn
2

Берілген теңдеуді шешудің алгоритмін оқушылармен талқылаймыз.
1. sinx - cosx = 0 теңдігінің орындалуын анықтаймыз;
2. Теңдеуді sinx немесе cosx өрнегіне бөлеміз ( sinx  0, cosx  0);
3. Теңдеуді tgx немесе ctgx арқылы жазамыз;
4. Алынған тригонометриялық теңдеуді tgx немесе ctgx өрнектеріне қатысты шешеміз;
5. Жауабын жазамыз.
Дәл осылайша, екінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеулерді қарастырамыз.
Оқушылармен біртекті түрге келтірілетін тригонометриялық теңдеулерді қарастырамыз.
2-мысал:
Теңдеуді шешіңіз: sin2 x – 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0.
Шешуі:
Теңдеудің екі жағында cos2 x – ке бөлеміз.

sin2 x 3 sin x cos x 2 cos2 x 0
——— – —————— + ———— = ———
cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x

Сонда:
tg2 x – 3 tg x + 2 = 0.
tg x –тің орнына жаңа z айнымалысын енгізіп, z – ке қатысты квадрат теңдеуді аламыз: z2 – 3z + 2 = 0.......