Педагогика | Арифметикалық амалдар

Мазмұны
I тарау Кіріспе ................................................................................................... 3

II Негізгі бөлім ....................................................................................................5

1.1. Арифметикалық амалдар және олардың қасиеттері мен заңдары.......5
1.2. Кестелік қосу және азайту........................................................................9
1.3. Кестелік көбейту және бөлу...................................................................12
1.4. Арифметикалық амалдарды орындаудың ерекше және дербес жағдайлары .............................................................................................14
1.5. Жазбаша қосу және азайту ....................................................................20

III Қорытынды .................................................................................................26

IV Пайдаланылған әдебиеттер .......................................................................27
1.1. Арифметикалық амалдар және олардың қасиеттері мен заңдары

Математиканың бастаушы курсында натурал сандар қатары және нолмен тығыз байланысты қарастырылатын өзекті мәселенің бірі арифметикалық амалдар.
Әрбір арифметикалық амал, басқа да математикалық ұғымдар сияқты жиындарға қолданылатын амалдарды орындау процесінде нақтылы негізге сүйене айқындалады: Сонда:
- қосу - ортақ элементтері жоқ жиындарды біріктіру;
- азайту - жиынының бір бөлігін айырып алу;
- көбейту - элементтерінің саны бірдей жиындарды біріктіру;
- бөлу - жиынды саны бірдей қиылыспайтын жиындарға айыру ретінде анықталуы мүмкін.
Бастаушы сыныптарда көбейту - қосу арқылы, ал бөлу - азайту арқылы анықталады және олардың да мән-мағынасы қара-пайым тексті жай есептер арқылы ашылады.
Сонда көбейту амалы, түсінігі практикалық іс-әрекетке сүйеніп элементтері бірдей топтарды біріктіру, яғни қосу амалы арқылы жүзеге асырылады. Ал бөлу жайындағы түсінік заттардың тобымен жүргізілетін практикалық екі іс-әрекетке: тең бөліктерге бөлу сүйеніп қалыптастырылады. Арифметикалық амалдардың мән-мағынасын ашу, олардың таңбаларын және сәйкес терминдер енгізумен жалғастырылады.
Амалдарды оқыту барысында, олардың аса маңызды, қасиеттері де қарастырылады:
● қосу мен азайту амалдарына қатысты алғанда;
● қосудың орын ауыстырымдылық қасиеті;
● қосу мен азайтудың ерекше жағдайлары (0 мен 1-дің қасиеттері);
● санды қосындыға қосу және қосындыны санға қосу, қосындыдан санды азайту және содан қосындыны азайту, сияқты мәселелер қарастырылады, сондай-ақ жақшаның ішіндегі амал бірінші орындалады;
● қатар тұрған қосылғыштарды қосындымен алмастыруға болады;
● бірліктерді бірліктерге, ал ондықтарды ондықтарға қосады;
● бірліктерден бірліктерді, ал ондықтардан ондықтарды азайту түріндегі қорытындылар жасалады.
Көбейту мен бөлуге қатысты алғанда:
● көбейтудің орын ауыстырымдылық қасиеті;
● көбейту мен бөлудің ерекше жағдайлары;
● қосындыны санға көбейту;
● санды қосындыға көбейту;
● қосындыны санға бөлу;
● санды қосындыға бөлу;
● санды көбейтіндіге көбейту;
● санды көбейтіндіге бөлу сияқты мәселелер қарастырылады. Көрнекі құралдар, оқулықтарға суреттер мен үлгі жазулар және нақты мысалдар арқылы түсіндіріліп, ілгеріде енгізілетін есептеу тәсілінің негізіне алынады.
Арифметикалық амалдардың компоненттері мен нәтижелері арасындағы байланыстар, арифметикалық амалдардың дұрыс орындағанын тексеру және белгісіз компоненттерін табу үшін пайдаланылады. Сондықтан әрбір арифметикалық амалдардың нақтылы мағынасын айқындаумен бірге, олардың белгіленуі, яғни амал таңбасы және терминология, амалдардың компонеттері мен нәтижелерінің атаулары енгізіледі.
Математиканың бастауыш курсында арифметикалық амалдар орындау реті туралы ережелердің маңызы өте зор. Ол ережелердің өзі математикалық заңдылық емес, тек солай қолданып, қалыптасып кеткен келісім екенін ескерген жөн.
Заңдылықты оқытып-үйретуде алдымен нақты мысалдарды қарастырып сонан кейін байқау және бақылау, салыстыру мен салыстыру арқылы жекелеген жағдайлардан біріндеп жалпы қорытындыға келуге болады, ең соңында мысалдар арқылы тиянақты түседі. Мұндағы түсіндірме «Жеке - жалпы - жеке» тізбектігімен жүргізілуі мүмкін.
Егер келісілген мәселе оқытылса, онда алдымен неге келісілгені жалпы түрде хабарланады да, ол әрі қарай мысалдармен қорытылады, ал 2-сыныпта құрамында екі амал кездесетін өрнектер енгізілген алғашқы күннен бастап «жақшаның ішінде жазылған амал бірінші орындалады» деген ереже беріліп, қосу және азайту амалдары (екі амал) алмасып келетін өрнектерде, олардың орындалу тәртібі осы ережеге сүйеніп анықталады. әрі қарай бұл ережелерден еш жерде ешқандай ауытқу болмайды. Ереже айтылысымен оны қолдануға байланысты мысалдар қарастырылады.
Келесі кезеңде мынадай екі ереже енгізіледі:
1. Жақшасыз өрнекте алдымен солдан оңға қарай көбейту және бөлу, ал содан кейін қосу мен азайту орындалады.
2. Егер өрнекте жақша болса, онда алдымен жақша ішіндегі амалдар орындалады.
Бұл ережелерді қолдануға машықтандыруда арнайы мысалдар жүйесін қарастыру көзделеді, сондай-ақ есептеулер жүргізумен байланысты берілетін «өрнектің мәнін есепте», «амалдарды орында» сияқты тапсырмаларда және «өрнек құру, оны оқу және жазу» кезінде қажет жағдайлардың бәрінде де амалдардың орындалу ретін анықтап алуды сәйкес жаттығулардың қосымша жүктемесі деп түсіну керек. Сонда оқушылар алдымен ережені қолдануға төселеді, ал әрі қарай тапсырмада көрсетілген негізгі іс-әрекет орындауға көшеді. Осыған орай берілетін материалдар қиындықтары біртіндеп орта түсетіндей етіп бірқалыпты бөлінген.
Бастауыш буында математиканы оқытудың ең негізгі мақсаттарының бірі - оқушыларды натурал сандарға амалдар қолдана білуге және сол амалдарды қарапайым шамаларға қолдануға үйрету болып табылады. Ол математика курсының құрамды бөлігі жәнеөзекті мәселесі таза арифметикалық материалдарды оқытып үйретудің қорытынды нәтижесі .
Оқушылар ауызша және жазбаша есептеу бірліктері мен дағдыларды игеру үшін:
а) Әр түрлі көрнекі құралдарды тиімді пайдалану және есептеулер жүргізудің теориясы мен практикасының арақатынасын дұрыс сақтау арқылы қалыптасуы тиіс дағдыны және оның негізі болатын сәйкес есептеу тәсілін оқушылардың саналы игеруіне жағдай туғызып, есептеудің дұрыс орындалуына негіз жасау қажет;
б) Есептеудің саналы және шапшаң орындауға жетуі қамтамасыз етілетіндей дағдыны бекіте, тиянақты және жетілдіре түсетіндей ұйымдастырылуының ескерілуі тиіс;
в) Бүкіл сыныптың және жекелеген оқушылардың сәйкес есептеу дағдылардың игеру деңгейін жүйелі түрде тексеріп және бақылап отыру керек, нәтижеге орай әрбір оқушыға немесе олардың белгілі бір тобына жеке-дара қарым-қатынас жасау және осы тұрғыда анықталған кемшілікпен оқулықтардың дер кезінде жайылуына қатысты қамқорлықтың әрдайым қажет екенін ескеру керек;
г) Есептеулер жүргізу, үйретудің қай кезеңінде болмасын есептеулерді орындағанда оқушылардың өзін-өзі тексеру мен бақылауына ерекше назар аударған жөн.
сондай-ақ сандар аймағының кеңейтілу ретінің өзгеруі, сәйкес аймақтарда арифметикалық амалдарды және есептеулер жүргізу тәсілдерінің қарастырылуы ретін бұрынғыдан өзгеше құруға мүмкіндік туғызып отыр. 1-сыныпта 10-ның көлеміндей қосу мен азайту кестелері, 1 және 0 сандары қатысатын жағдайлардағы қосу және азайту, осыларға ұқсас ондықтарды қосу және азайту оқытылады, 2-сыныпта 20-ның көлеміндегі қосу және азайту кестелері, 1 мен 0 сандары қатысатын қосу және азайту, сандардың ондық құрамы жайындағы білімге негізделген қосу мен азайту тәсілдері ауызша қосу мен азайтудың ондықтан аттайтын, аттамайтын жағдайлары, екі таңбалы сандарды жазбаша қосу және азайту оқытылады. 3-сыныпта 100-дің көлеміндегі көбейту және бөлу кестелері, 1 және 0 сандары қатысатын жағдайлардағы көбейту және бөлу, ауызша көбейту мен бөлудің кестеден тыс жағдайлары, қалдықпен бөлу 1000 көлеміндегі сандармен арифметикалық төрт амалды ауызша орындау тәсілдері, үш таңбалы сандарды жазбаша қосу және азайту, үш таңбалы сандарды бір таңбалы сандарға көбейту және бөлу оқытылады. 4-сыныпта көп таңбалы сандармен жүргізілетін ауызша және жазбаша есептеулер арифметикалық төрт амалға қатысты оқытылады.

1.2. Кестелік қосу және азайту
Жалпы алғанда арифметикалық амалдардың кестелік жағдайларын оқытуда, таблицаны оқушылардың табысты меңгеруін жеңілдету мақсатында барлық кестелік жағдайлар бірнеше топтарға бөлінгендігін ескерген жөн. Мұнда амалдарды орындау тәсілдері бірдей (ортақ) болатын кестелік жағдайлар жекелеген топтар құрайды.
Осыған орай қазірде арифметикалық амалдардың таблицалық жағдайлары мынадай топтар құрайды:
1. Бір таңбалы сандарға (10 көлеміндегі) 2,3,4 сандарын қосу мен азайтудың сәйкес жағдайлары;
2. Бір таңбалы сандарға (10 көлеміндегі) 5,6,7,8,9 сандарын қосу және азайту сәйкес жағдайлары;
3. 20-ның көлеміндегі қосу таблицасы және азайтудың сәйкес жағдайлары;
4. 100-дің көлеміндегі көбейту таблицасы және бөлудің сәйкес жағдайлары.
Амалдардың таблицалық жағдайларын оқып үйренуге кірісудің қарсаңында оқушылардың 10-ға дейінгі сандардың құрамының әр түрлі жағдайларын еркін біліп шығуына жетудің де маңызы өте зор. Кез-келген санға 2,3,4,5-ті қосу мен азайту жағдайлары бір бірімен алмастырыла бір мезгілде өткізіледі. Ол үшін әр бөлігінің тұсына 0-ден 10-ға дейінгі сәйкес сандар жазылған сызғышты пайдалану және демонстрациялық немесе үлестірме материалдармен практикалық жұмыс жасауға болады. Мысалы, сызғышты пайдаланып, 0+2 қосу керек болса, қарындаштың ұшын нөлге қойып, одан екі аттап белгі салу керек, сонда қосынды шығады. Азайтуды көрсету үшін кері қарай 10-нан үш аттап 7-ге түсіреді, сонда 10-3=7.
5,6,7,8,9 сандарын қосқанда (10-ның көлеміндегі) шығатын нәтижелерді оқушылар осы түсініктеріне негіздей отырып табады. Сонда: оқушылардың мынадайтүсіндірмені ауызша келтіру жеткілікті, мысалы 3+7 болғанда 7-ге 3-ті қосатын, 10шығады, демек 3+7 = 10.
6,7,8,9,10 сандарының құрамын түрліше анықтауға оқушылар жеткілікті машықтануы тиіс. Мысалы: 6 = 5+1; 6-5 = 1; 6-1 = 5. Әрбір жағдайда сәйкес түсіндірме келтіріледі, сонда 6 бұл 5 және 1, егер 5-ті алып кетсе, онда 1 қалады, ал егер 1-ді алып кетсе 5 қалады сияқты пайымдауымыз мүмкін.
Амалдардың таблицалық жағдайларының келесі тобын оқытып үйретуде оқушылардың бұрыннан игерген біршама бөлімдері өзгерген жағдайда қолданылады. Санның ондық құрамын, екінші ондық көлемінде анықтағанда сәйкес терминдер айқын қолданылады. Мысалы 17 саны 1 ондық және 7 бірліктен турады немесе құралады, сондай-ақ 17 саны 10 мен 7 сандарының қосындысы не 17 саны 10 және 7 сандарына жіктеледі: 17=10+7 жазылуында 17 қосынды, 10+7 ол да қосынды. 10 және 7 қосылғыштар, 17 саны екі (10 және 7) қосылғыштардан тұрады, қосылғыштардың бірі 10, ал екіншісі 7 т.с.с.
Қосу таблицасындағы және азайтудың сәйкес жағдайларындағы нәтижені есептеп шығару үшін ауызша есептеулер жүргізудің жаңа тәсілдері санның ондық құрамына және санды онға дейін толықтыру жайындағы білімдерге негізделген тәсілдердің мән-мағынасы ашылады және оларды қолданып есептеулер жүргізудің рет-тәртібі тағайындалады. Біртіндеп оқушылар мынадай пайымдауларды меңгереді, атап айтқанда, 10+7 мысалында 1 ондық және жеке 7 бірліктен құралатын сан 17, ендеше 10+7=17, 17-7 мысалында 17 санында 1 ондық 7 жеке бірлік бар, 7 бірлікті одан азайту керек, сонда 1 ондық қана, яғни 10 шығады, демек, 17-7=10. 17-7 мысалында 17 сонында 1 ондық және 7 жеке бірлік бар, 10-ды одан азайту керек, сонда 1 ондықсыз 7 жеке бірліктен ғана тұратын сан шығады, ол - 7, олай болса 17-10=7. Осындай түсіндірмелер келтіруге жеткілікті машықтанған оқушылар 20 көлеміндегі сандарды қосу мен азайтудың нәтижелерін қиындықсыз табады.
Қосу мен азайтудың таблицаларындағы ондықтан аттайтын жағдайларда нәтижені табу тәсілдеріне 7+3+6, 17-7-2 сияқты мысалдарды қарастыру барысында дайындық кезеңіндегі қолданылатын сәйкес пайымдаулардың үлгілеріне келтіреміз. 7+3+6 мысалында 7-ге 3-ті қосқанда 10 шығады, ал 10-ға тағы 6-ны қосса 16 болады, 17-7-2 мысалында 17-ден 7-ні шегерсе 10 шығады, ал 10-нан 2-ні алғанда 8 болады деген пайымдаулар 7+9 және 17-9 жағдайларында нәтижені табу үшін қолданылатын негізгі мәселенің қатарына жатады. Әрине 100-дің көлеміндегі қосу және азайту таблицаларын құруда жоғарыда қарастырылғаннан басқада «теориялық материалдар» да қолданылады. Олардың ішінен 11-ден 100-ге дейінгі сандардың әрқайсысын 1-ді қосу және 1-ді шегеру арқылы шығарып алу, осы аралықтағы сандарды бөлшектеп қосу мен азайту, сондай-ақ қосылғыштардың орнын ауыстыру және қосу мен азайту амалдарының өзара байланысына негізделген есептеу тәсілдерін ерекше атап көрсетер едік. Соңғы байланыс «қосындыдан қосылғыштардың бірін алса, екінші қосылғыш шығады» деген жалпы қорытынды түрінде айқын қолданылуы да мүмкін.
Қосу таблицасын және азайтудың сәйкес жағдайларын оқып-үйренуде: қосу және азайту амалдарының мән-мазмұны пайымдағы түсініктер; натурал сандар қатарының негізгі қасиетіне негізделген 1-ді қосу және 1-ді азайту тәсілі; 10 көлеміндегі сандардың бір таңбалы екі санның қосындысы түріндегі құрамы туралы білімдер; 100 көлеміндегі екі таңбалы санды ондық пен бірліктің қосындысына келтіру жайындағы білімдер; қосылғыштардың орнын ауыстыруға және қосу мен азайтудың арасындағы өзара байланысқа негізделген есептеу тәсілдері қолданылады. Сол көлемдегі қосу және азайту таблицалары натурал сандар қатарының негізгі қасиеті, санның құрамы, сандардың орын ауыстырып қосу және біртіндеп қосу, шегеру сияқты білімдерге сүйеніп оқытылады. Мәселен, 2-ні қосу және азайту алғашқыда көрнекілікке негізделген санау арқылы енгізіледі де, содан кейін екі-екіден қосу және шегеруге сүйеніп, яғни сандар қатарынан кез-келген санынан бастаптура немесе кері бағытта бір сан аттап санаудың көмегімен тиянақтылы және бекітіле түседі. Ал «бөлшектеп қосу .....