Дифференциальные уравнения гиперболического типа

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 2- ПОРЯДКА
1.1 Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
1.2 Уравнения гиперболического типа. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Постановка краевых задач

2. О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
2.1 Формулировка основных результатов
2.2 Доказательства основных результатов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 Классификация уравнений с частными производными 2- порядка

1.1 Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными

Дадим необходимые определения.
Уравнением с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными х, у называется соотношение между неизвестной функцией u(х, у) и ее частными производными до 2-го порядка включительно:

Аналогично записывается уравнение и для большего числа независимых переменных.
Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид
(1)
где, являются функциями х и у.
Если коэффициенты зависят не только от х и у, являются, подобно , функциями , то такое уравнение называется квазилинейным.
Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных так и относительно функции u и ее первых производных
(2)
где - функции только х и у. Если коэффициенты уравнения (2) не зависят от х и у, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффицентами. Уравнение называется однородным, если
С помощью преобразования переменных

допускающего обратное преобразование, мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному. Естественно поставить вопрос: как выбрать
чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму?
В этом пункте мы дадим ответ на поставленный вопрос для уравнений, линейных относительно старших производных вида (1) с двумя независимыми переменными х и у:

Преобразуя производные к новым переменным, получаем:
(3)
Подставляя значения производных из (3) в уравнение (1), будем иметь:

а функции не зависит от вторых производных. Заметим, что если исходное уравнение линейно, т.е.

то имеет вид

т.е. уравнение остается линейным.
Выберем переменные так, чтобы коэффициент был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными 1-го порядка.
(5)
Пусть – какое-нибудь частное решение этого уравнения. Если положить то коэффициент очевидно, будет равен нулю. Таким образом, упомянутая выше задача о выборе новых независимых переменных связана с решением уравнения (5).
Докажем следующие леммы.
1. Если является частным решением уравнения

то соотношение представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения
(6)
2. Если представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения.

то функция удовлетворяет уравнению (5).
Докажем первую лемму. Поскольку функция удовлетворяет уравнению (5), то равенство
(7)
Является тождеством: оно удовлетворяется для всех x, y в той области, где задано решение. Соотношение является общим интегралом уравнения (6), если функция у, определенная на неявного соотношения , удовлетворяет уравнению (6). Пусть

есть эта функция, тогда
(8)

где скобки и значок указывают, что в правой части равенства (8) переменная у не является независимой переменной, а имеет значение, равное . Отсюда следует, что удовлетворяет уравнению (6), так как

поскольку выражение в квадратных скобках равно нулю при всех значениях х, у, а не только при .
Докажем вторую лемму. Пусть – общий интеграл уравнения (6). Докажем, что
(7’)
для любой точки (х,у). Пусть (х0,у0) – какая-нибудь заданная точка. Если мы докажем, что в ней удовлетворяется равенство (7’), то отсюда в силу тождество и функция является решением уравнения (7’). Проведем через точку (х0,у0) интегральную кривую . Очевидно, что . Для всех точек этой кривой имеем:
Полагая в последнем равенстве x=x0, получим:

что и требовалось доказать.
Уравнение (6) называется характеристическим для уравнения (1), а его интервалы – характеристиками.
Полагая , где есть общий интеграл уравнения (6), мы обращаем в нуль коэффициент при . Если является другим общим интегралом уравнения (6), не зависимым от , то полагая мы обратим в нуль также и коэффициент при
Уравнение (6) распадается на два уравнения:

(9)

(10)

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения

(11)

Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением гиперболического типа, если в точке эллиптического типа, если в точке параболического типа, если в точке Нетрудно убедиться в правильности соотношения


из которого следует инвариантность типа уравнения при преобразования переменных, так как функциональной определитель (якобиан) D преобразования переменных отличен от нуля. В различных точках области определения уравнение может принадлежать различным типам.
Рассмотрим область G, во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип. Через каждую точку области G проходят две характеристики, причем для уравнений гиперболического типа характеристики действительны и различны, для уравнений эллиптического типа – комплексны и различны, а для уравнений параболического типа обе характеристики действительны и совпадают между собой.

1.2 Уравнения гиперболического типа
Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

Постановка краевых задач
1. Уравнение малых поперечных колебаний струны. Каж¬дую точку струны длины l можно охарактеризовать значе¬нием ее абсциссы х. Описание процесса колебания струны мо¬жет быть проведено при помощи задания положения точек струны в различные моменты времени. Для определения поло¬жения струны в момент времени t достаточно задать компонен¬ты вектора смещения {u1(x,t), u2(x,t), u3(x,t)} точки x в мо¬мент t .
Мы рассмотрим наиболее простую задачу о колебаниях струны. Будем предполагать, что смещения струны лежат в од¬ной плоскости (x, и) и что вектор смещения и перпендикулярен в любой момент к оси x; тогда процесс колебания можно опи¬сать одной функцией u(x,t), характеризующей вертикальное пе¬ремещение струны. Будем рассматривать струну как гибкую уп¬ругую нить. Математическое выражение понятия гибкости за¬ключается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю (рис. 1). Это условие выражает собой то, что струна не сопро¬тивляется изгибу.
Величина натяжения, возникающего в струне вследствие уп¬ругости, может быть вычислена по закону Гука. Будем рас¬сматривать малые колебания струны, и пренебрегать квадратом их по сравнению с единицей.
Пользуясь этим условием, подсчитаем удлинение, испытывае¬мое участком струны (x1,x2). Длина дуги этого участка равна
Рис. 1.
Таким образом, в пределах принятой нами точности удлинения участков струны в процессе колебания не происходит; отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения Т в каж¬дой точке не меняется со временем. Покажем также, что натя¬жение не зависит и от х, т. е.
T(x) = = const.
Найдем проекции натяжения на оси х и и (обозначим их Тх и Ти):



где α — угол касательной к кривой u(x,t) с осью х. На участок (x1, x2) действуют силы натяжения, внешние силы и силы инер¬ции. Сумма проекций всех сил на ось х должна быть равна нулю (мы рассматриваем только поперечные колебания). Так как силы инерции и внешние силы по предположению направ¬лены вдоль оси и, то
или (1)
Отсюда в силу произвольности х1 и x2 следует, что натяжение не зависит от. х, т. е. для всех значений х и t
T(x) = (2)
После сделанных предварительных замечаний перейдем к вы¬воду уравнения поперечных колебаний струны. Воспользуемся вторым законом Ньютона. Составляющая количества движения участка струны (х1,x2) по оси и равна

где — линейная плотность струны. Приравняем изменение ко¬личества движения за промежуток времени t1-t2


импульсу действующих сил, складывающихся из натяжения

в точках x2 и x1 и внешней силы, которую будем считать не¬прерывно распределенной с плотностью (нагрузкой) F(x,t), рассчитанной на единицу длины. В результате получим урав¬нение поперечных колебаний элемента струны в интегральной форме
+
+ (3)
Для перехода к дифференциальному уравнению предположим существование и непрерывность вторых производных от u(х,t). Делая предположение о двукратной дифференцируемости функций, мы фактически уславливаемся о том, что будем рассматривать лишь функции, обладающие этим свойством. Таким образом, подобного типа предположение связано с ограничением круга изучаемых физических явлений и не содержит в себе утверждения, что не существует функций, удовлетворяющих интегральному уравнению колебаний и не имеющих вторых производных. Такие функции существуют и представляют значительный практический интерес.
Тогда формула (3) после двукратного, применения теоремы о среднем примет вид

где

Сократив на и переходя к пределу при x2 x1, t2 t1, по¬лучим дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны
(4)
В случае постоянной плотности α = const этому уравнению обычно придают вид
(5)
где
(6)
отсут¬ствии внешней силы полу¬чим однородное уравнение

u

F0(t)

описывающее свободные ко¬лебания струны. Это урав¬нение является простейшим примером уравнения ги¬перболического типа.
Если в точке х0 (х1 < х0 < x2) приложена сосредоточенная сила f0(t) (рис. 2), то уравнение (3) запишется так:
Поскольку скорости точек струны ограничены, то при x1 x0 и х2 х0 интегралы в левой части этого равенства стремятся к нулю, и равенство (3) принимает вид
(7)
Пользуясь теоремой о среднем, сокращая обе части равенства на и переходя к пределу при t2 t1, получим:

Отсюда видно, что в точке приложения сосредоточенной силы первые производные претерпевают разрыв и дифференциальное уравнение теряет смысл. В этой точке должны выполняться два условия сопряжения
(8)
первое из которых выражает непрерывность струны, второе определяет величину излома струны в точке х0, зависящую от f0(t) и натяжения T0.
2. Уравнение продольных колебаний стержней и струн. Урав¬нения продольных колебаний для струны, стержня и пружины записываются одинаково. Рассмотрим стержень, расположенный на отрезке (0, l) оси х. Процесс продольных колебаний может быть описан одной функцией u(x,t), представляющей в момент t смещение точки, имевшей в положении равновесия абсциссу x. Выбранная здесь геометрическая переменная х называется перемен¬ной Лагранжа. В переменных Лагранжа каждая физическая точка стержня в течение всего процесса характеризуется одной и той же геометрической координатой х. Физическая точка, занимавшая в начальный момент (в со¬стоянии равновесия) положение х, в любой последующий момент t находится и точке с координатой X = х + u (х,t). Если мы фиксируем некоторую геометрическую точку А с координатой X, то в различные моменты времени и угон точке будут находиться различные физические точки (с разными лагранжевыми координатами х). Часто пользуются также переменными Эйлера X, t, где X — геометрическая координата. Если U (X,t)—смещение точки с эйлеровой координатой X, то лагранжева координата
x= X-U(X,t)
При продольных колебаниях это смещение происходит вдоль стержня. При выводе уравнения будем предполагать, что натяжения, возникающие в процессе колебания, следуют закону Гука.....