Метод сеток для задачи Дирихле

Содержание
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………

1 Метод сеток решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа…………………………………………………………….....
1.1 Сетки и сеточные функции…………………………………………………….
1.2 Разностные производные и некоторые разностные тождества……………...
1.3 Идея метода сеток………………………………………………………….......
1.4 Сходимость и аппроксимация разностных схем……………………………..
1.5 Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью……………………

2 Метод сеток для уравнений эллиптического типа……………………………..
2.1 Разностные схемы для уравнений эллиптического типа…………………….
2.2 Построение разностных аппроксимации для уравнений…………………….
2.3 Аппроксимация граничных условий………………………………………….
2.4 Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона…………………………………………………………………………….
2.5 Об устойчивости разностной схемы задачи Дирихле для уравнения Пуассона…………………………………………………………………………….
2.6 Метод матричной прогонки……………………………………………………
2.7 Метод итераций для разностной задачи Дирихле……………………………

3 Практическое задание……………………………………………………………
1 МЕТОД СЕТОК РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

1.1 СЕТКИ И СЕТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Для численного решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, часто применяется метод сеток или разностный метод [23].
Сеткой на отрезке [a, b] называется любое конечное множество точек этого отрезка. Функция, определенная в точках сетки, называется сеточной функцией. Будем обозначать через ω сетку, удовлетворяющую условиям
а=х х х … х х =b, (1.1)
и через f - значение сеточной функции f(x) в точке х ω , т. е. f =f(x ). Точки х ω называются узлами сетки ω .
Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными; при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами.
Остановимся более подробно на основных понятиях метода сеток. Рассмотрим сначала простейшие примеры сеток.
Пример 1. Сетки в одномерной области. Пусть область изменения аргумента х есть отрезок 0 x l. Разобьем этот отрезок на N равных частей длины h=l/N точками x =ih, i=0,1,…,N. Множество этих точек называется равномерной сеткой на отрезке [0, l] и обозначается ={x =ih, i=0,1,…,N, Nh=l}, а число h – расстояние между точками (узлами) сетки, - называется шагом сетки.
Для выделения части сетки будем далее использовать следующие обозначения:
={x =ih, i=1,2,…,N-1, Nh=l},
={x =ih, i=1,2,…,N, Nh=l},
={x =ih, i=0,1,…,N-1, Nh=l},
={x =0, x =l}.
Отрезок [0, l] можно разбить на N частей, вводя произвольные точки 0=x x …x x … x x =l. В этом случае получим сетку
={x , i=0,1,…,N, x =0, x =l} с шагом h =x -x в узле x , i=1,2,…,N, который зависит от номера i узла x , т. е. является сеточной функцией h =h(i).
Если h h(i) хотя для одного номера i, то сетка называется неравномерной. Если h =h=l/N, то получим построенную выше равномерную сетку. Для неравномерной сетки вводится средний шаг = (i) в узле x , =0,5( + ), 1 i N-1, =0,5h , =0,5h . На бесконечной прямой -∞ х ∞ можно рассматривать сетки ={x =a+ih, i=0, 1, 2,…} с началом в любой точке х=а и шагом h, состоящую из бесконечного числа узлов.
Пример 2. Сетка в двумерной области. Пусть область изменения аргументов х=(х , х ) есть прямоугольник ={0 x l , =1,2} с границей Г. На отрезках 0 x l построим равномерные сетки с шагом h :
={x (i)=ih , i=0, 1,…, M, h M=l },
={x (j)=jh , j=0, 1,…, N, h N=l }.
Множество узлов x =(x (i), x (j)), имеющих координаты на плоскости x (i) и x (j), называется сеткой в прямоугольнике и обозначается
={x =(ih , jh ), i=0, 1,…, M, j=0, 1,…, N, h M=l , h N=l }.
Сетка , очевидно, состоит из точек пересечения прямых x =x (i) и x =x (j).
Построенная сетка равномерна по каждому из переменных x и x . Если хотя бы одна из сеток неравномерна, то сетка называется неравномерной. Если h =h , то сетка называется квадратной, иначе прямоугольной.
Точки , принадлежащие Г, называется граничными и их объединение образует границу сетки: ={х Г}.
Чтобы описать структуру сетки , удобно использовать запись = * , т. е. представлять как топологическое произведение сеток и . Используя введенные в примере 1 обозначения , и , можно выделить части сетки в прямоугольнике, например:
={x =(ih , jh ), i= 1, 2,…, M-1, j= 1, 2,…, N},
={x =(ih , jh ), i=0, 1,…, M-1, j=0, 1,…, N}.
Рассмотрим теперь понятие сеточной функции. Пусть - сетка, введенная в одномерной области, а x - узлы сетки. Функция у=у(x ) дискретного аргумента x называется сеточной функцией, определенной на сетке . Аналогично определяется сеточная функция на любой сетке , введенной в области изменения непрерывного аргумента. Например, если x - узел сетки в двумерной области , то у=у(x ). Очевидно, что сеточные функции можно рассматривать и как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки. Так, можно писать у=у(x )=y(i), y=у(x )=y(i, j). Можно использовать для обозначения сеточных функций следующую запись: у(x )=у , у(x )=у .
Сеточную функцию у можно представить в виде вектора, рассматривая значения функции как компоненты вектора Y=(y , y ,…, y ). В этом примере у задана на сетке ={x , i=0, 1,…, N}, содержащей N+1 узел, а вектор Y имеет размерность N+1. Если - сетка в прямоугольнике, то сеточной функции у , заданной на , соответствует вектор Y=(у ,…, у , у ,…, у ,…, у ,…, у ) размерности (M+1)(N+1). Узлы сетки при этом считаются упорядоченными по строкам сетки.
Мы рассмотрели скалярные сеточные функции, т. е. такие функции, значениями которых в каждом узле сетки являются числа. Приведем теперь примеры векторных сеточных функций, значениями которых в узле являются векторы. Если рассматриваемом выше примере обозначить через Y(x (j))=Y вектор, компонентами которого являются значения сеточной функции у в узлах x , x ,…, x j-й строки сетки : Y =(у , у ,…, у ), j=0,1,…, N, то мы получим векторную сеточную функцию Y , определенную на сетке ={x (j)=jh , j=0, 1,…, N}.
Если функция, заданная на сетке, принимает комплексные значения, то такая сеточная функция называется комплексной.
Рассмотрим задачу о приближенном вычислении производных функции u(х), определенной и непрерывной на отрезке [a, b]. Будем считать, что u(х) обладает необходимой по ходу изложения гладкостью. Введем равномерную сетку и обозначим
u =u(x ), u =(u -u )/h,
u =(u -u )/h, u =(u -u )/(2h).
Выписанные здесь разностные отношения называются, соответственно, левой, правой и центральной разностными производными функции и(х) в точке х=x . Если точка x фиксирована, а шаг h стремится к нулю (при этом i→∞), то каждое из упомянутых разностных отношений стремится к значению производной функции u(х) в точке x . Поэтому в качестве приближенного значения u'(х) можно взять любое из этих разностных отношений.
Нетрудно получить выражение для погрешности, возникающей при замене дифференциального выражения разностным. Рассмотрим, например, левую разностную производную в точке х=x и запишем ее в виде
u = .
По формуле Тейлора получим
u(x-h)=u(x)-hu'(x)+ u"( ), (x-h,x),
следовательно,
u =u'(x )- u"( ). (1.2)
Погрешность u -u'(x ), возникающая при замене дифференциального выражения u'(x) разностным выражением u , называется погрешностью аппроксимации. Из разложения (1.2) видно, что погрешность аппроксимации является величиной O(h) при h→0. В этом случае говорят, что имеет место аппроксимация первого порядка.
Приведем разложения, аналогичные (1.2), для других разностных отношений:
u =u'(x )+ u"( ), (x , х ), (1.3)
u =u'(x )+ u'"( ), (x , х ). (1.4)
Из разложения (1.4) видно, что центральная разностная производная аппроксимирует u'(x) со вторым порядком и, следовательно, является более точным приближением к u'(x), чем левая или правая разностные производные. В дальнейшем наряду с (1.2) – (1.4) будем использовать менее детальную запись тех же разложений, а именно
u =u '+O(h), u =u '+O(h), u =u '+O(h ).
Вторую производную u"(x) можно приближенно заменить в точке x второй разностной производной
u = (u -u )= . (1.5)
Разложение по формуле Тейлора приводит к следующему выражению для погрешности:
u -u"(x )= u ( ), (1.6)
т. е. имеет место аппроксимация второго порядка.
Мы привели простейшие примеры аппроксимации дифференциальных выражений разностными на равномерной сетке. В обще случае погрешность, возникающая в результате замены дифференциального выражения разностным, зависит как от распределения узлов сетки, так и от гладкости функции.

1.2 РАЗНОСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И НЕКОТОРЫЕ РАЗНОСТНЫЕ ТОЖДЕСТВА

Пусть задана сетка . Множество всех сеточных функций, заданных на , образует векторное пространство с определенным очевидным образом сложением функций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определить разностные или сеточные операторы. Оператор Λ, преобразующий сеточную функцию у в сеточную функцию f=Λy, называется разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки, используемое при написании разностного оператора в узле сетки, называется шаблоном этого оператора.
Простейшим разностным оператором является оператор разностного дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Определим разностные производные.
Пусть - равномерная сетка с шагом h, введенная на прямой : ={x =a+ih, i=0, ,…}. Разностные производные первого порядка для сеточной функции у =у(х ), х определяются формулами
(1.7)
и называются левой и правой производными соответственно. Используется также центральная производная
(1.8)
Если сетка неравномерна, то для разностных производных первого порядка применяют следующие обозначения:
(1.9)

Из определений (1.7) и (1.9) вытекают следующие соотношения:
(1.10)
(1.11)
а также равенства
(1.12)
Разностные операторы , и имеют шаблоны, состоящие из двух точек, и используются при аппроксимации первой производной Lu=u' функции u=u(х) одного переменного. При этом операторы и аппроксимируют оператор L на гладких функциях с погрешностью O(h), а - с погрешностью O(h ).
Разностные производные n-го порядка определяются как сеточные функции, получаемые путем вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной n-го порядка. Приведем примеры разностных производных второго порядка:



которые используются при аппроксимации второй производной Lu=u" функции u=u(х). В случае равномерной сетки погрешность аппроксимации равна O(h ). Соответствующие разностные операторы имеют трехточечный шаблон. При аппроксимации четвертой производной Lu=u используется разностная производная четвертого порядка у = Аналогично при аппроксимации производных n-го порядка используются разностные производные n-го порядка.
Для преобразования выражений, содержащих разностные производные сеточных функций, нам потребуются формулы разностного дифференцирования произведения сеточных функций и формулы суммирования по частям. Эти формулы являются аналогом соответствующих формул дифференциального исчисления.
1) Формулы разностного дифференцирования произведения. Используя определения разностных производных (1.8), нетрудно проверить, что имеют место тождества:



Используя (1.10), (1.11), последнее тождество можно записать в виде
(1.13)
2) Формулы суммирования по частям. Умножая (1.13) на и суммируя получаемое соотношение по i от m+1 до n-1, находим, что

Используя (1.12), получим соотношение которое подставим в найденное выше равенство. В результате будем иметь

Замена индекса суммирования i'=i-1 во второй сумме правой части дает следующую формулу суммирования по частям:
(1.14)
Используя (1.12), легко получить из (1.14) еще одну формулу суммирования по частям
(1.15)
Из формулы (1.14) следует, что функция u должна быть определена для m+1 i n, а функция - для m i n. Пусть теперь - сеточная функция, заданная для m i n. Тогда функция определена для m+1 i n. Подставляя u в (1.14), получим следующее тождество:
(1.16)
Имеет место
Лемма 1. Пусть на произвольной неравномерной сетке i=0, 1,…, N, =0, =l} задана сеточная функция , обращающаяся в нуль при i=0, i=N. Для этой функции имеет место равенство

Утверждение леммы 1 очевидным образом следует из тождества (1.16).
Следствие. Если - равномерная сетка, и , то
Полученные тождества используются не только для преобразования разностных выражений. Они часто применяются, например, при вычислении различного вида конечных сумм и рядов.
Приведем пример. Требуется вычислить сумму а 1. Введем следующие сеточные функции, заданные на равномерной сетке i=0, 1,…, N, h=1}:
, (1.17)
На указанной сетке формула суммирования по частям (1.14) для любых сеточных функций имеет вид (m=0)

Учитывая, что для функции (1.17) верны соотношения , отсюда получим

Искомая сумма найдена.

1.3 ИДЕЯ МЕТОДА СЕТОК

Идею метода сеток изложим на примере решения задачи Дирихле для уравнения
a +b +c +d +gu=f, (1.18)
где a, b, c, d, g, f – функции независимых переменных х и у, определенные в конечной области G с границей Г. Относительно этих функций предположим, что они непрерывны в G+Г, a и b положительны в G+Г, а g –
неположительна в ней.
Пусть необходимо найти решение уравнения (1.18), непрерывное вплоть до границы Г, принимающее в точках границы заданные значения , т. е.
u = , (1.19)
где - непрерывная функция на Г.....