Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестрім түрлері. Алгебра, 10 сынып, сабақ жоспары.

Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі:

10.4В Кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары

Мектеп:

Күні:

Мұғалімнің аты-жөніМұғалімнің аты-жөні:

Сынып: 10

Қатысқандар саны:

Қатыспағандар саны:

Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестрім түрлері.

Оқушылар:

10.3.2.16 Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім түрлерін тану: биномдық үлестірім, геометриялық үлестірім , гипергеометриялық үлестірім.

Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім түрі- биномдық үлестірімнің мәнін түсінеді.

Оқушы төмендегі критерийлерді орындаса, оқу мақсатына жетеді

• биномдық үлестірімнің мәнін түсінеді;
• биномдық үлестірімге есептер шығарады.

Пәнге қатысты лексика мен терминология:

Кездейсоқ шама, дискретті кездейсоқ шама

Ньютон биномыны;

Бернулли схемасы

Биномдық үлестірім; стандарттық ауытқу; математикалық күтім; дисперсия

Диалогқа/жазылымға қажетті тіркестер:

А оқиғасы n тәуелсіз тәжірибеде пайда болмауы;

А оқиғасы n тәуелсіз тәжірибеде пайда болуы;

Дискретті кездейсоқ шама Х –тің үлестіру заңын табу;

Биномдық үлестірім дегеніміз...;

*Академиялық шыншылдық, толеранттылық

*Ж.А білу және түсіну: тұрақты даму,әлеуметтік әділеттілік және теңдік

*Ж.А құндылықтары: әлемдегі және қоршаған ортадағы жағдайларды жақсартуға белсенді қатысуға шешім қабылдау

*Ж.А.дағдылары: өзінің айналасындағыларға ашық, әділ қарым –қатынас және олардың құқықтарын құрметтеу

Физика, экономика

Интерактивті тақта мүмкіндіктерін қолдану, Интернет ресурстар

Кездейсоқ шама; дискретті кездейсоқ шама ; үзіліссіз кездейсоқ шама ұғымы; дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.

Сабақ барысы

Сабақтағы жоспарланған іс-әрекет

Ұйымдастыру кезеңі

Сабақ басында оқушылардың зейінін шоғырландыруға көңіл бөлу.

Жаңа тақырыпты игеру үшін қажет оқу материалын қайталау:

1.Дискретті кездейсоқ шама ...

2.Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы деп ...

3. Дискретті Х кездейсоқ шамасының үлестірім заңын кесте көмегімен берілуі ...

4.Бернулли схемасын және Бернулли формуласын қолдану шарттары ...

Сабақтың мақсатын оқушылармен бірге анықтау

Жаңа тақырып.

Айталық n тәуелсіз тәжірибе жүргізілген болып, оардың әрбірінде А оқиғасы пайда болсын, немесе пайда болмасын.Оқиғаның пайда болу ықтималдығы барлық тәжірибеде тұрақты болып, р-ға тең болсын (онда пайда болмауы q=1-p). Осы тәжірибелерде А оқиғасының пайда болу санын дискретті кездейсоқ шаманы Х деп алып, оның үлестіру заңын табуды қарастырайық.

А оқиғасы n тәуелсіз тәжірибеде пайда болмауы,1 рет пайда болуы, 2 рет пайда болуы, немесе n рет пайда болуы мүмкін Онда Х –тің мүмкін болатын мәндері: х₁=0, х₁=1, х₂=2, ... х_n+1= n. Олардың ықтималдықтарын табу үшін Бернулли формуласын қолданамыз.

(1)

• формуланың оң жағын Ньютон биномының жалпы мүшесі деп қарауға болады

. (2)

(2) формуланың бірінші мүшесі тәуелсіз тәжірибеде А оқиғасының рет пайда болу ықтималдығын, екінші мүшесі рет пайда болу ықтималдығын , ..., соңғы мүшесі пайда болмау ықтималдығын анықтайды. Бұл тұжырымды кесте түрінде жазамыз:

Бұл кесте - дискретті кездейсоқ шама Х –тің мәндерімен оларды қабылдау ықтималдықтарының биномдық үлестіру заңы деп аталады (ықтималдықтар бином мүшелері болғандықтан )

Анықтама. Биномдық үлестіру дегеніміз n сынаудан тратын Бернулли схемаларындағы А оқиғасының пайда болу санына тең Х кездейсоқ шамасының үлестірілуі. Бұл үлестіруде Х кездейсоқ шамасының мәндеріне ықтималдығы сәйкес келеді:

, q=1-p

1 мысал. Оқушы бір-біріне ұқсас емес үш есеп шығарады. Оқушының әрбір есепті шығару ықтималдығы бірдей және ол 0,6-ға тең болсын. Әрбір шығарылған есеп үшін оқушыға 5 ұпайдан есептейді. Шығарылған есептердің үлестіру кестесін жазу керек.

Шешуі: Х арқылы ұпай санын белгілейік.

Х –тің мәндері: болады.

р=0,6 ал q=1-0,6=0,4

Бернулли формуласы бойынша :

.

;

;

2 мысал. Нысанаға тәуелсіз 4 рет оқ атылды және әрбір атқанда нысанаға тигізу ықтималдығы р=0,8

a) нысанаға тиген оқтар санына тең m кездейсоқ шамасының үлестірім заңын жазу;

b)1≤ m ≤ 3 және m >3 оқиғаларының ықтималдықтарын табу керек;

Шешуі: кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері m : 0, 1, 2, 3, 4. p=0,8 ал q=1-0,8=0,2. Ал сәйкес ықтималдықтар Бернулли формуласы бойынша:

m кездейсоқ шамасынының үлестірім заңы кесте түрінде былай жазылады:

• 1≤ m ≤ 3 және m >3 оқиғаларының ықтималдықтарын табу керек;

P(1≤ m ≤ 3)= p₁ + p₂ + p_{3 =} 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 = 0.5888.

P(m>3)= p₄=0,4096

Биномдық заңмен үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық күтілімін, дисперсиясын табу.

Теорема. n тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысындағы оқиғаның көріну ықтималдығы р тұрақты, А оқиғасының көріну санының математикалық күтімі : M(X)=n·p.

Дәлелдеу:

Биномдық заңмен үлестірілген Х кездейсоқ шамасы, п тәуелсіз сынақтар нәтижесінде орындалуы р, ал орындалмауы q=1-p болатын А оқиғасының саны.

Х_і –і сынағындағы А оқиғасының саны. Х_і тек екі мән қабылдайды: 1-ді р ықтималдығымен (А оқиғасы орындалса),

0-ді q ықтималдығымен (А оқиғасы орындалмаса).

Онда М(X)=1· p + 0 · q = p

X=X₁ + X₂ + … + X_n және Х_і – тәуелсіз кездейсоқ шамалар, онда

М(X)= М(X₁) +М( X₂ )+ … +М( X_n)= np.

Теорема. n тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысындағы оқиғаның көріну ықтималдығы р тұрақты, А оқиғасының көріну санының дисперсиясы: D(X)=n·p·q

Дәлелдеуі:

Биномдық заңмен үлестірілген Х кездейсоқ шамасы, п тәуелсіз сынақтар нәтижесінде орындалуы р, ал орындалмауы q=1-p болатын А оқиғасының саны. Х_і –і сынағындағы А оқиғасының саны. Х_і екі мән қабылдайды: 1-ді р ықтималдығымен (А оқиғасы орындалса), 0-ді q ықтималдығымен(А оқиғасы орындалмаса). Онда

М(X²)=1²· p + 0²· q = p

D(X_і) = M(Х_і ²) – M²(X_і) = p – p² = p (1 – p) = pq.

X=X₁ + X₂ + … + X_n және Х_і – тәуелсіз кездейсоқ шамалар, онда

D(X)= D(X₁ + X₂ + … + X_n) = D(X₁) +D( X₂ )+ … +D( X_n)= npq.

Жоғарыда қарастырылған 1 мысал үшін сандық сипаттамаларын табайық

Шешуі: n=3, p=0,6; q=1-0,6=0,4.

M(X)=n·p, M(X)=3·0,6=1,8.

D(X)=n·p·q , D(X)=3·0,6·0,4=0,72

, .

Бекітуге берілген тапсырмалар:

Топпен жұмыс.Тапсырмаларды орындап болған соң, жаңа топтар құрылып есептер талдалынып дұрыс шешімді анықтайды.

№1.Х дискретті кездейсоқ шаманың – тиынды екі рет лақтырғанда «герб» жағымен көріну санының биномдық заңын жазыңыз.

№2. Құрылма тәуелсіз істейтін үш элементтен тұрады. Әрбір элементтің әрбір сынақта істен шығу ықтималдығы 0,1. Бұл сынақта істен шығатын элементтер саны Х-тің үлестіру заңын жазыңыз.

№3. Қалада 4 комерциялық банк бар. Олардың әрқайсысының бір жыл ішінде банкроттық қаупі 20%.Келесі жыл бойы банкротқа ұшырайтын банктердің санынның үлестіру заңын құрастырыңыз.

Жұппен жұмыс.

№4.Бақылау жұмысы 3 сұрақтан тұрады.Әр сұраққа жауаптың 4 нұсқасы берілген, олардың біреуі дұрыс. Қарапайым болжау арқылы дұрыс жауаптар санының үлестіру заңын жазыңыз. Математикалық күтілім мен дисперсиясын табыңыз.

№5. Бір партия детальдардың 75% бірінші сортты детальдар. Х дискретті кездейсоқ шама – 5 алынған детальдың ішіндегі бірінші сортты детальдар саны. Х дискретті кездейсоқ шаманың Биномдық үлестіру заңын құрастырыңыз. Х шамасының математикалық күтілімін, дисперсиясын,орташа квадраттық ауытқуын табыңыз.

№6.Таңдалып алынған бір партия бұйымдардың 10 пайызы сапасыз бұымдар. Кез –келген 4 бұйым алынды. Осы 4 бұйым ішінде сапасыз бұйымдардың пайда болу санының үлестіру заңын жазу керек. Сандық сипаттамаларын есептеңіздер.

Рефлексия:

Үй тапсырмасы

№1.Кездейсоқ алынған 5 бөлшектің әр бөлшегі стандартты болатынының ықтималдығы 0,9-ға тең болса.Әр бөлшектің стандартты болу оқиғасының үлестіру заңын жазыңыз.

№2.Теңге үш рет лақтырылсын. Кездейсоқ шама ретінде гербтің пайда болу санын қарастырамыз:

а) үлестіру заңын жазыңыз;

б) М(Х), D(X), σ(x) есептеңіз.

Саралау –оқушыларға қалай көбірек қолдау көрсетуді жоспарлайсыз? Қабілеті жоғары оқушыларға қандай міндет қоюды жоспарлап отырсыз?

Бағалау оқушылардың

Материалды меңгеру деңгейін қалай тексеруді жоспарлайсыз?

Сабақ бойынша рефлексия

Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Оқушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме?

Жеткізбесе, неліктен?

Сабақт саралау дұрыс жүргізілді ме?

Сабақтың уақыттық

кезеңдері

сақталды ма?

Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?

Жалпы баға

Сабақтың жақсы өткенекі аспектісі (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақты жақсартуға не ықпал ете алады (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақ барысында сынып туралы немесе жекелеген оқушылардың жетістік/қиындықтары туралы нені білдім, келесі сабақтарда неге көңіл бөлу қажет?