Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестрім түрлері. Биномдық үлестірім. Алгебра, 10 сынып, сабақ жоспары.

Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі: 10.4В Кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары

Күні:

Сынып: 10

Қатысқандар саны:

Қатыспағандар саны:

Сабақ тақырыбы

Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестрім түрлері. Биномдық үлестірім.

Осы сабақта қол жеткізілетін оқу мақсаттары (оқу бағдарламасына

сілтеме)

10.3.2.16 - дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім түрлерін ажырата білу: биномдық үлестірім, геометриялық үлестірім, гипергеометриялық үлестірім

 Сабақ

 мақсаттары

Оқушы дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім түрі- биномдық үлестірімнің мәнін түсінеді.

 Жетістік

 критерийі

Оқушы төмендегі критерийлерді орындаса, оқу мақсатына жетеді

• биномдық үлестірімнің мәнін түсінеді;

биномдық үлестірімге есептер шығарады.

 Тілдік мақсаттар

Пәндік лексика мен терминология

- биномдық үлестірім;

- геометриялық үлестірім;

-гипергеометриялық үлестірім

Диалогқа/жазылымға қажетті тіркестер

- биномдық үлестірім дегеніміз …;

- геометриялық үлестірім дегеніміз …;

- гипергеометриялық үлестірім дегеніміз …

Құндылықтарды дарыту

Құрмет (баға беру кезінде кері байланысты қамтамасыз ету арқылы)

Негізгі дағдылар

Өзін-өзі бағалау арқылы өзін-өзі реттеу дағдылары, топтық жұмысты ұйымдастыру, әрекет жоспарын / бағалау критерийлерін жасау

 Пәнаралық

 байланыстар

Физика, химия. информатика (жалпы негізгі дағдыларды дамыту арқылы)

 АКТ қолдану

 дағдылары

Интерактивті тақта мүмкіндіктері, Интернет-ресурстар

Бастапқы білім

Туынды, дифференциал, бірінші және екінші туынды, монотондылық аралықтары (интервалдары)

Сабақтың барысы

Сабақтың жоспарланған кезеңдері

 Оқушылармен бірлесіп сабақтың/оқытудың мақсаттарын анықтау

Жаңа материалды игеру

 Тәжірибе нәтижесінде кездейсоқ Х шамасы мәндерінің бірін қабылдап, яғни қос –қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын жасайтын оқиғаларының бірі пайда болсын. Бірақ бұл жеткіліксіз. Өйткені мәнін қандай ықтималдықпен қабылдайтынын да білу қажет. Бұл оқиғалардың ықтималдықтарын сәйкес арқылы белгілейміз, яғни оқиғалардың толық тобын жасағандықтан,

 яғни кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері ықтималдықтарының қосындысы бірге тең. Бұл ықтималдықтар қандай да бір жолмен -дің дербес мәндеріне үлестіріп таратылып отыр.

 Сонымен, кездейсоқ шама мәндерімен оларға сәйкес ықтималдықтарды байланыстыратын ереже дискретті кездейсоқ шаманың үлестіру заңы делінеді. Бұл заң таблица, график немесе формула түрінде өрнектелуі мүмкін.

 І. Үлесіру таблицасы

Кездейсоқ шама дискретті мәндерді қабылдасын. Мұндай шамалар, мысалы, ойын сүйегін лақтырған кездегі ұпайлардың санын немесе Спортлото лотереясында болжанатын ұпайлардың санын қамтиды. Кездейсоқ шаманың үлестірім заңы оның барлық ықтимал мәндерінің жиынтығын және осы кездейсоқ шама мәнін қабылдайтын ықтималдықтарды құрайды. Үлестірім заңдары үдерістің логикасынан есептелуі немесе жеткілікті үлкен статистикалық таңдама болған жағдайда есептелінуі мүмкін. Бірақ процестердің кейбір жалпы түрлері үшін сізге үлестірімді қорытып шығарудың қажеттілігі жоқ, бірақ стандартты ұқсас үрдістерді қолдануға болады. Олардың ең танымалдарын қарастырайық.

• Биномдық заңмен үлестірілген кездейсоқ шама.

кездейсоқ шамасының мүмкін мәндері –ге тең болып, сәйкес ықтималдықтар Бернулли формуласымен

түрінде анықталса, кездейсоқ шамасын биномдық заңмен үлестірілген деп атайды. Бұл заңдылықтағы ықтималдықтар Ньютон биномындағы

әрбір қосылғышпен анықталатын болғандықтан, оны биномдық үлестірім заңы деп атаған. Сонымен, биномдық заң былай жазылады:

Оқушылармен бірлесіп 1-мысалды талқылау

1-мысал. Нысанаға тәуелсіз 4 рет оқ атылды және әр атқанда нысанаға тигізу ықтималдығы . а) нысанаға тиген оқтар санына тең кездейсоқ шамасының (КШ) үлестірімділік заңын жазу керек; ә) және оқиғаларының ықтималдықтарын табу керек.

Шешуі: а) кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері : .

Оларға сәйкес ықтималдықтар Бернулли формуласы бойынша анықталады:

;

;

;

;

;

Сонымен, кездейсоқ шамасының үлестірімділік заңы былай жазылады:

ә)

. .

Жұптық жұмыс

2-мысал. Оқушы бір-біріне ұқсас емес үш есеп шығарады. Оқушының әрбір есепті шығару ықтималдығы бірдей және ол 0,6-ға тең болсын. Әрбір шығарылған есеп үшін оқушыға 5 ұпайдан есептейді. Шығарылған есептердің үлестіру кестесін жазу керек.

Шешуі: Х арқылы ұпай санын белгілейік.

Х –тің мәндері: болады.

р=0,6 ал q=1-0,6=0,4

Бернулли формуласы бойынша :

.

;

;

Кездейсоқ шамаларды сипаттайтын маңызды ұғымдардың бірі – математикалық күтім ұғымы. Бұл ұғымға түсінік беруден бұрын бір мысал келтірейік.

3-мысал. Кітаптарды тез сату мақсатымен ұтылыссыз лотерея ұйымдастырыл-ған. Таратылған 500 лотерея билетінің бәрі де ұтады, бірақ ұтыс мөл-шері әр түрлі. Мұның 250-і 10 теңгеден, 150-і 20 теңгеден, 50-і 30 теңгеден,  қалған 50-і 40 теңгеден ұтады. Сатып алынған бір лотерея билетінің орташа ұтыс 

мөлшері (ұтқан кітаптың орташа бағасы) неге тең?

 Шешуі. Күтіп отырған орташа ұтысты анықтау үшін сатылған кітаптардың жалпы сомасын анықтап, оны жалпы билеттер санына бөлеміз, 

Яғни  2500+3000+1500+2000=9000 теңге. 9000 теңге қосындысын 500-ге бөлеміз, сонда

теңге болады.

  Ал бұл күтім отырған орташа ұтысты анықтау үшін әр ұтысқа келетін билет санын олардың жалпы санына бөліп, сәйкес ұтыс мөлшеріне

 көбейтіп те табуымызға болады, яғни

теңге.

 Осы жазылғандарды ықтималдықтар теориясы тілімен айтсақ, онда ұтыс мөлшері кездейсоқ   шамасы 10; 20; 30; 40  теңге мәндерді сәйкес

 ,

ықтималдықтарымен (салыстырмалы жиілікпен) қабылдайды дейміз. 

Сәйкес теңге кестесі мынадай болады:

 Бұл  кестедегі  мәндерін  сәйкес мәндеріне көбейтіп қос-сақ, онда әрбір билетке сәйкес келетін орташа ұтыс мөлшері 18 теңге екенін аламыз. Осы қарастырылған мысалға ұқсас орташа мән орнына математикалық күтім ұғымын енгізейік.

Математикалық күтім, дисперсия ұғымдары бойынша оқушылармен эвристикалық әңгіме

 Анықтама. Дискретті кездейсоқ шама -тің математикалық күтімі деп оның барлық мүмкін мәндерін сәй-кес ықтималдықтарына көбейтілген қосындысын айтамыз.

Мысал. Бернулли схемасы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық күтімін анықтау керек.

 Шешуі. Бернулли схемасында биномдық үлестіру

  ,

болатын. Олай болса, анықтама бойынша

, яғни,

  .

Сонымен, келесі теорема дәлелденді.

Теорема. тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысындағы оқиғаның көріну ықтималдығы тұрақты, оқиғасының көріну санының математикалық күтімі : .

Теорема. тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысындағы оқиғаның көріну ықтималдығы тұрақты, А оқиғасының көріну санының дисперсиясы: .

Дәлелдеуі:

Биномдық заңмен үлестірілген кездейсоқ шамасы, тәуелсіз сынақтар нәтижесінде орындалуы , ал орындалмауы болатын оқиғасының саны. _і –і сынағындағы оқиғасының саны. екі мән қабылдайды: 1-ді ықтималдығымен ( оқиғасы орындалса), 0-ді ықтималдығымен(А оқиғасы орындалмаса). Онда

М(X²)=1²· p + 0²· q = p

D(X_і) = M(Х_і ²) – M²(X_і) = p – p² = p (1 – p) = pq.

X=X₁ + X₂ + … + X_n және Х_і – тәуелсіз кездейсоқ шамалар, онда

D(X)= D(X₁ + X₂ + … + X_n) = D(X₁) +D( X₂ )+ … +D( X_n)= npq.

Жоғарыда қарастырылған 2-ші мысал үшін сандық сипаттамаларын табайық:

Шешуі: n=3, p=0,6; q=1-0,6=0,4.

.

, .

Бекітуге берілген тапсырмалар:

Топпен жұмыс.Тапсырмаларды орындап болған соң, жаңа топтар құрылып есептер талдалынып дұрыс шешімді анықтайды.

№1. кездейсоқ шамасы

заңдылығымен үлестірілген. деп алып, -ні табыңыз. кездейсоқ шамасы қандай заңмен үлестірілгенін анықтаңыз.

№2. Х дискретті кездейсоқ шаманың – тиынды екі рет лақтырғанда «елтаңба» жағымен көріну санының үлестірім заңын жазыңыз. кездейсоқ шамасы қандай заңмен үлестірілгенін анықтаңыз.

№3. Құрылма тәуелсіз істейтін үш элементтен тұрады. Әрбір элементтің әрбір сынақта істен шығу ықтималдығы 0,1. Бұл сынақта істен шығатын элементтер саны Х-тің үлестірім заңын жазыңыз.

№4. Қалада 4 комерциялық банк бар. Олардың әрқайсысының бір жыл ішінде банкроттық қаупі 20%. Келесі жыл бойы банкротқа ұшырайтын банктердің санының үлестірім заңын құрастырыңыз.

Өзара бағалаумен жұптасып есептер шешу.

№5.Бақылау жұмысы 3 сұрақтан тұрады.Әр сұраққа жауаптың 4 нұсқасы берілген, олардың біреуі дұрыс. Қарапайым болжау арқылы дұрыс жауаптар санының үлестірім заңын жазыңыз. Математикалық күтім мен дисперсиясын табыңыз.

№6. Бір партия детальдардың 75% бірінші сортты детальдар. Х дискретті кездейсоқ шама – 5 алынған детальдың ішіндегі бірінші сортты детальдар саны. Х дискретті кездейсоқ шаманың Биномдық үлестірім заңын құрастырыңыз. Х шамасының математикалық күтімін, дисперсиясын,орташа квадраттық ауытқуын табыңыз.

№7.Таңдалып алынған бір партия бұйымдардың 10 пайызы сапасыз бұымдар. Кез –келген 4 бұйым алынды. Осы 4 бұйым ішінде сапасыз бұйымдардың пайда болу санының үлестірім заңын жазу керек. Сандық сипаттамаларын есептеңіздер.

Үй тапсырмасы

№1.Кездейсоқ алынған 5 бөлшектің әр бөлшегі стандартты болатынының ықтималдығы 0,9-ға тең болса.Әр бөлшектің стандартты болу оқиғасының үлестірім заңын жазыңыз.

№2.Теңге үш рет лақтырылсын. Кездейсоқ шама ретінде гербтің пайда болу санын қарастырамыз:

а) үлестірім заңын жазыңыз;

б) М(Х), D(X), σ(x) есептеңіз.

Рефлексия

Оқушылар рефлексия жасайды:

- не білдім, неге үйрендім;

- не түсініксіз болып қалды;

- немен жұмыс жасау қажет.

Негізгі дағдылар мен құндылықтарды талқылау.

Мұғалім сабақты қорытындылайды

Саралау –оқушыларға қалай көбірек қолдау көрсетуді жоспарлайсыз? Қабілеті жоғары оқушыларға қандай міндет қоюды жоспарлап отырсыз?

Бағалау, оқушылардың материалды меңгеру деңгейін қалай тексеруді жоспарлайсыз?

Өздік жұмыс дәрежесі бойынша оқушылардың жұмысын саралау (әлсіз оқушылар мұғалімнің басшылығымен тапсырмаларды орындайды)

Оқу материалдарының көлемін саралау (2-ші сабақта қабілетті оқушыларға қосымша тапсырмалар)

Өзін-өзі бағалау, өзара бағалау (бағалау парағын толтыру)

Сабақ бойынша рефлексия

Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Оқушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме?

Жеткізбесе, неліктен?

Сабақты саралау дұрыс жүргізілді ме?

Сабақтың уақыттық

кезеңдері

сақталды ма?

Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?

Жалпы бағалау

Сабақтың жақсы өткен екі аспектісі (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:.

Сабақты жақсартуға не ықпал ете алады (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақ барысында сынып туралы немесе жекелеген оқушылардың жетістік/қиындықтары туралы нені білдім, келесі сабақтарда неге көңіл бөлу қажет?