Эластичность и ее применение в экономическом анализе

[quote]
Важнейшим направлениям применения дифференциального исчисления в экономике является введение с его помощью понятия эластичности. Коэффициент эластичности показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах.
Эластичность функции и ее геометрический смысл
Пусть величина у зависит от х,и эта зависимость описывается функцией у=f(х). Изменение независимой переменной х(,,,х) приводит в силу функциональной зависимости к изменению переменной у(,,,у).Встает вопрос, как измерить чувствительность зависимой переменной у к изменению х. Одним из показателей реагирования одной переменной на изменение другой служит производная
Yx=limy/x
Характеризующаяся скорость изменения функции с изменением аргумента х. Однако в экономике этот показатель неудобен тем, что он зависит от выбора единиц измерения.
Например, если мы рассмотрим функцию спроса на сахар (Q) от его цены (Р), то увидим, что значение производной при каждой цене Р (измеряемой в рублях)
Qp=limQ/P
Зависит от того, измеряется ли спрос на сахар в килограммах или в центнерах. В первом случае производная измеряется в кг./руб., во втором - в Ц./руб., соотвественно ее значение при одном и том же значении цены будет различным в зависимости от единиц измерения величины спроса. Поэтому для измерения чувствительности изменения функции к изменению аргумента в экономике изучают связь не абсолютных изменений переменных х и у (,,х и у,,) а их относительных процентных изменений.
Эластичностью функции у=f(х) называется предел отношения относительных изменений переменных у и х.
Если эластичность изменения переменной у при изменении переменной х обозначить Ех (у), то, используя определение производной, получаем
Ex(Y)=lim[Y/Y]/[X/X]=lim[Y/X*X/Y]=limY/x*x/Y
Ex(y)=dy/dx*x/y=(x)*x/y=(x)/y/x=(x)/(x)/x=M/
где Мf- маржинальное значение функции f в точке х, Аf- среднее значение функции в точке х. Эту эластичность называют также предельной или точечной эластичностью.
Т. е. эластичность может быть выражена в виде отношения предельной (Мf) и средней (Аf) величин.
Так как dlny=dy, а dlnx=dx , то эластичность можно представить в форме

“логарифмической производной”Еx(у)=dlny .
dlnx
Дискретный случай.
В дискретном случае , а также при приближенном определении эластичности по дискретному набору данных, определение эластичности уже не столь однозначно, как в непрерывном случае, поскольку в относительном изменении bx =x = x2 – x1 не ясно, что брать в качестве х: первоначальное
x x
значение (х=х1), конечное значение (х=х2) или среднее значение х =х1+x2 .
2
В зависимости от этого выбора различают конечную (процентную) эластичность
Ex[Y]=[Y2-Y1/Y1]/[x2-x1/x1]
Среднюю (дуговую) эластичность
Ex(Y)=[2(Y2-Y1)/Y1+Y2]/[2(x2-x1)/x1+x2]
А также логарифмическую эластичность
Ex(Y)=lny/lnyx=lny2-lny1/lnx2-lnx1=ln[y2/y1]/ln[x2/x1]
Все эти выражение мало отличаются друг от друга при небольших относительных (процентных) изменения величин х и у.
Отметим, что для всех эластичностей используется один и тот же символ Е(у), ибо из контекста бывает ясно, о какой эластичности идёт речь.
Свойства эластичности и эластичность элементарных функций
Свойства эластичности:
Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х: E(by)=E(y).
Eax(by)=d(by)/d(ax)*ax/by=b(dy)/a(dx)*dy/dx*x/y=Ex(y)
Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные величины:
Ex(y)=1/Ey(x)=Ex(y)=dy/dx*x/y=1/dx/dy*y/x=1/Ey(x)
Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса
[Ep(Q)=1/Eq(p)]
Эластичность произведения двух функций и (х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей
Ex(uv)=Ex(u)+Ex(v)
Эластичность суммы двух функций и (х) и v(x) может быть найдена по формуле:
Ex(u+v)=d(u+v)/dx*x/u+v=[du/dx+dv/dx]*x/u+v=uEx(u)+vEx(v)
Эластичность элементарных функций: Эластичность степенной функции у= х постоянна и равна показателю степени a:Ex (x) =a
Ex(x)=dx/dx*x/x=ax*x/x=a
Эластичность показательной функции у= а пропорциональна х.
Ex(a)=da/dx*x/a=a*x*lna/a=x*lna
Эластичность линейной функции у = ах+в Ех(ах +в)= ах .
ах+в
Если график линейной функции имеет отрицательный наклон (а

Толық нұсқасын 30 секундтан кейін жүктей аласыз!!!

Қарап көріңіз 👇