Шар және оның бөліктерінің көлемі. Геометрия, 11 сынып, дидактикалық материал.

«Шар және оның бөліктерінің көлемі» тақырыбына есептер

Задачи (уровень А):

1. Объем шара равен 36π. Найдите площадь сферы, ограничивающей данный шар.

2. Площадь поверхности шара равна 144π. Найдите объем данного шара.

3.В шаре радиуса 15 см проведено сечение, площадь которого равна 81π см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

4.На расстоянии 9 м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24π. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

5. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.

6. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара

Задачи (уровень В):

1. Внешний диаметр полого шара равен 18 см, а толщина стенок – 3 см. Найдите объем материала из которого сделан шар.

2. Внутренний диаметр полого шара равен 12 см, а толщина стенок – 3 см. Найдите объем материала из которого сделан шар.

3. Сечение, перпендикулярное диаметру шара, делит этот диаметр в отношении 1 : 3. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого от шара, если площадь поверхности шара равна 144 π.

4. Сечение, перпендикулярное диаметру шара, делит этот радиус пополам. Площадь поверхности шара равна 64 π. Найдите объем большего шарового сегмента, отсекаемого от шара.

5. Радиус шарового сектора равен R, а угол между радиусами в осевом сечении сектора равен 120º. Найдите объем сектора.

6.Круговой сектор радиуса R c центральным углом 60º вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.

ответы: Уровень а, Уровень в.

 1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

 Решение.

 Радиус большого круга является радиусом шара. Площадь первого выражается через радиус  как , а площадь поверхности сферы – как . Видно, что площадь поверхности шара в  раза больше площади поверхности большого круга.

 2. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

 Решение.

 Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра: . Тогда объем шара

.

Ответ: 4,5.

 3. Около куба с ребром   описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

 Решение.

 Пусть длина ребра куба равна а, а его диагональ равна d. Радиус описанного шара R равен половине диагонали куба:

.

 Поэтому объем шара равен

 Тогда

Ответ: 4,5.