Логарифм және оның қасиеттері. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.


Федеральное агентство по образованию

Российской Федерации

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Сборник задач

по алгебре

Часть 2. Иррациональные,

 тригонометрические, показательные уравнения и неравенства. Прогрессии

В помощь учащимся 10–11 классов

Москва 2009

УДК 512(076)

ББК 22.143я7

С23

 Сборник задач по алгебре. Часть 2. Иррациональные, триго-нометрические, логарифмические уравнения и неравенства. Про-грессии. В помощь учащимся 10–11-х классов/ О.В. Нагорнов, А.В. Баскаков, О.Б. Баскакова, С.А. Гришин, Н.В. Мирошин, Р.Р. Резванов. – М.: НИЯУ МИФИ, 2009. – 160 с.

 Данная книга является второй частью пособия, составленного в соот-ветствии с программой углубленного изучения математики в 10–11-х классах. Сборник включает задачи, относящиеся к тригонометрическим и логарифмическим уравнениям и неравенствам, а также прогрессиям. За-дачи сгруппированы по трем уровням сложности. В некоторых разделах даны краткие теоретические сведения. Задачи второй и третьей группы сложности могут быть использованы при проведении математических олимпиад.

 Пособие предназначено для слушателей подготовительных курсов, а также поможет подготовиться к олимпиадам, поступлению в физико-математические лицеи и НИЯУ МИФИ. Учителя могут использовать данное пособие для подготовки к занятиям.

Рекомендовано редсоветом МИФИ

  • качестве учебного пособия Рецензент проф. Н. А. Кудряшов

© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2009

ISBN 978-5-7262-1171-8

Редактор Е. Н. Кочубей

Макет подготовлен Е. Н. Кочубей

Подписано в печать 15.07.2009.Формат 60 84 1/16.

Изд. № 068-1. П.л. 10,0. Уч.-изд. л. 10,0. Тираж 4500 экз. Заказ №

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., 31

СОДЕРЖАНИЕ

I. Тригонометрия4

1. Начала тригонометрии7

  • Тождественные преобразования тригонометрических

выражений16

3. Обратные тригонометрические функции20

4. Тригонометрические уравнения26

5. Тригонометрические системы уравнений44

6. Тригонометрические неравенства47

II. Логарифмические и показательные уравнения

и неравенства55

1. Тождественные преобразования55

2. Показательные и логарифмические уравнения68

3. Показательные и логарифмические неравенства78

4. Системы показательных и логарифмических уравнений84

5. Уравнения и неравенства с параметрами86

6. Построение графиков93

III. Понятие функции, область определения, область

значений, свойства функций95

1. Область определения функции95

2. Область значения функции98

3. Четность и нечетность функции103

4. Периодичность105

IV. Прогрессии107

1. Арифметическая прогрессия107

2. Геометрическая прогрессия116

Ответы123

3

  • ТРИГОНОМЕТРИЯ

 Для решения задач данной темы необходимо вспомнить триго-нометрический круг (рис. 1.1) и , тождественных .

I. Знаки тригонометрических функций по квадрантам.

1-

2-

3-

4-

(0–90 )

(90–180 )

(180–270 )

(270–360 )

+

+

+

+

+

+

+

+

("+""".)

4

  • Формулы приведения.

-α

90 α

180 α

270 α

360 α

sin

-sinα

cosα

sinα

-cosα

sinα

cos

cosα

sinα

-cosα

sinα

cosα

tg

-tgα

ctgα

tgα

ctgα

tgα

ctg

-ctgα

tgα

ctgα

tgα

ctgα

  • Тригонометрические функции основных углов.

0

30

45

60

90

180

270

360

sin

0

1

2

3

1

0

-1

0

2

2

2

cos

1

3

2

1

0

-1

0

1

2

2

2

tg

0

1

1

0

0

3

3

ctg

1

1

0

0

3

3

 IV. Соотношения между тригонометрическими функциями одного угла.

sin2α + cos2α =1;

tg =

sin

;

ctg =

cos

;

cos

sin

tg ctg = 1 ;

sec =

1

;

cosec =

1

;

cos

sin

1 + tg2 = sec2 =

1

1 ctg2

1

;

= cosec2 =

.

sin

cos2

 V. Формулы тригонометрических функций сумы и разно-сти углов.

 sin (α + ) = sin cos + cos sin ; sin (α – ) = sin cos – cos sin ; cos (α + ) = cos cos – sin sin ; сos (α – ) = cos cos + sin sin ;

5

tg () = tg tg ;

tg () = tg tg .

1 tg tg

VI. Тригонометрические функции двойного и тройного угла.

sin 2α = 2sincos α;

cos 2α = cos2– sin2= 1 – 2sin2= 2cos2– 1;

cos2

1 cos 2

;

sin 2

1 cos 2

;

2

2

tg 2 =

2tg

;

sin 3α = 3sin – 4sin3 ;

cos 3α = 4cos3 – 3cos .

1 tg2

VII. Тригонометрические функции половинного угла.

sin

α

1 cos α

;

cos

α

1 cos α

;

2

2

2

2

tg

1

cos

;

tg

sin

=

1 cos

;

ctg

=

sin

=

1 cos

;

1 cos

2

sin

2tg

1 tg2

sin =

2

;

cos =

2

.

1 + tg2

1 tg2

2

 VIII. Формулы преобразования суммы тригонометриче-ских функций в произведение.

sinsin= 2sincos;

2

2

sin sin = 2 cos

+

sin

;

2

2

cos cos = 2cos

cos

;

2

2

cos cos = 2sin

sin

;

2

2

tg tg =

sin ()

;

tg tg =

sin ()

;

cos cos

6

1 cos = 2cos

2

;

1 cos = 2sin 2

.

2

2

 IX. Формулы преобразования произведений тригонометри-ческих функций в сумму.

sincos = 1 sin( ) sin( ) ; 2

coscos 1 cos( ) cos( ) ; 2

1

sinsincos()cos() .

  • Начала тригонометрии

– А –

1.1.

Перевести угол из градусной системы измерения в ради-

анную и отметить угол на тригонометрической круге.

1)30 ;

2)

–45 ;

3)

90 ;

4) 150 ;

5) –240 ;

6) 300 ;

7)

–120 ;

8)

–540 ;

9) 135 ;

10)

1500 ;

11) –270 ;

12) –22,5 ;

13) 105 ;

14) 200 ;

15)

–315 .

1.2. Перевести угол из радианной системы измерений в градус-

ную и отметить угол на тригонометрическом круге.

1)

;

2)

2

;

3) ;

4)

3

;

5)

5

;

6

3

4

6)

3

;

7)–3 ;

8)

17

;

9)

17

10)

13

;

2

4

6

6

11)

7

;

12)

10

;

13)

7

;

14)

11

;

15)

121 .

4

3

12

18

24

1.3. Найти синусы углов.

1)

30 ;

2)

–45 ;

3)

90 ;

4) 150 ;

5) –240 ;

6)

300 ;

7)

–120 ;

8)

–540 ;

9) 135 ;

10)

11) –270 .

7

1.4. Найти косинусы углов.

1)

;

2)

2

;

3) ;

4)

3

;

5)

5

;

6

3

4

6

6)

3

;

7)–3 ;

8)

17

;

9)

17

10)

13

;

2

4

6

6

11)

7

;

12)

10

.

4

3

1.5. Вычислить значения функции у = f(x) в точке х = х0.

  • у = sin2x + cos3x, x0; 4

, x0

7

2)

y tg x

sin

x

;

6

3

6

  • y = sin2x + cos22x, x0; 12

x

4)

y sin x

cos

x

,

;

12

4

4

0

  • y = sin5x cos3x, x0. 8

1.6. Вычислить.

  • sin(450 ) + cos(–690 ) sin(780 );
  • ctg150 tg240 + sin(1260 );
  • sin(105 )cos(15 ) 1 sin(960 ); 2
  • cos2(570 ) : sin2(–840 );
  • sin(–105 ) + sin(–915 ).

 1.7. На тригонометрическом круге отметьте точки, соответст-вующие сериям.

1) k, k ℤ;

2)

2 п , n ℤ;

2

3)

2 k , k ℤ;

4)

3

2 m , m ℤ;

3

4

8

5) + 2 n, n ℤ;

6)

2

2 п , n ℤ;

3

7)

3

k , k ℤ;

8)

2 m , m ℤ;

4

2

9)

k

, k ℤ;

10)

, n ℤ;

п

6

2

3

2

  • m , m ℤ; 12) 2 k , k ℤ;

2

3

3

3

13)

n

, n ℤ;

14) ( 1)k

k , k ℤ;

3

2

  • ( 1)nn , n ℤ; 16) ( 1)k 1k , k ℤ;

23

  • ( 1)n 1 2n , n ℤ. 3

1.8. Найти знак sinx, если:

3

3

1)

x

;

;

2)

x

; 2

;

3)

x

;

.

2

2

2

1.9. Найти знак tgх, если:

3

3

1)

x

;0

;

2)

x

;

;

3)

x

;

.

2

2

2

Вычислить.

4

1.10. 1) sin , если cos

и

;

;

5

2

2) cos , если sin

12

и

3

;

;2

13

2

2

3) sin , если cos

и

;0

;

3

2

2

3

4) cos , если sin

2

и

;

;

3

9

3

5

5) sin , если

cos

и

; .

7

1.11. 1) sin , если tg

12

2

и

;2

;

5

12

2) sin , если

tg

и

;

;

35

2

4

3

3) cos , если ctg

и

;

;

3

2

2

10

5

4) cos , если tg

и

2 ;

;

3

39

5) sin , если ctg

и

;

.

5

2

1.12. 1) Знак sin, если( ; 2 ) ;

  • знак cos , если( ; 0) ; 2

3

3) знак tg

, если

;2

;

2

2

  • знак ctg , если3 ; 2 . 2

1.13. 1) cos

15

2

, если sin

2

17

и

;

;

2)

tg

,

если sin

и

;

;

2

25

2

31

3)

sin

,

если cos

и

;

;

2

49

  • ctg , если cos21 и 2 ;3 .

229

10

1.14. 1) sin() , если sin

1

, cos

2

,

,

3

;

3

3

2

2)

cos( 2 ) ,

если

ctg 3,

tg2,

;

3

,

2

3

;2 ;

2

3)

, если

3

3

sin

sin

,

;

;

4

5

2

2

4

,3;4.

4)

cos

, если cos

6

5

1.15. 1) cos 22,5 ;

2) sin 15 ;

3) tg 75 ;

4) sin 67,5 .

– В –

1.16. Упорядочить по возрастанию тройки чисел.

1) cos 1;

cos 2;

cos 3;

2) sin

7

; cos

; sin 2;

13

12

3) tg

; tg

5

; tg

7

;

4) ctg

; ctg

7

; tg

2

;

5

3

4

5

5

5) cos(–1); cos(4); sin(–3).

1.17. Найти расстояние между точками х1 и х2 на ℝ.

    • cos 8 ; x2 cos 17 ;

33

  • x1 sin 17 ; x2 sin 61 ;

12121)x

3)

x

cos2

;

x

2

sin 2

;

1

12

8

4)

x

cos

sin

;

x

2

sin

cos

;

1

3

12

3

12

5)

x

cos

sin

;

x

2

sin

cos

.

1

3

12

6

12

11

1.18. Значение cos= 0,2. Вычислить значения выражений.

1)

2sin

7

3cos( 5 );

2tg

;

2)

2

2

2

3)

sin

2

4cos

5

2

;

3

sin

2

4)

;

3

2

2

2

7

5)

cos 2

sin

.

2

2

Вычислить.

1.19. 1)

6sin 35 sin 55

;

2)

sin 54

;

cos 20

cos 63 sin117

3)

cos 35 2cos85

;

4)

sin 50 2sin10

;

3 cos 55

cos 50

5) сos195 cos105 + sin105 cos75 .

tg

11

7

3

1.20. 1) sin 4

cos4

;

2)

12

;

1

3tg

12

7

1

tg

13

ctg

4

3

12

3)

;

4)

;

13

sin

1

3 - tg

12

4

  • cos(2,9 )tg(2,4 )tg(1,1 ) . cos(0,9 )

1.21. 1) (sin15 + cos15 )2;2) sin15 cos75 sin2105 ;

  • sin 2 15 sin 75 ; cos105

4) cos15 +cos75 –cos105 –cos165 ;5) sin 22sin 68 .

12

1.22. Какие значения принимает функция f(x) на множестве Х?

1)

Х

( 1)

3k 2

k,

k Z

,

f(x) = cosx;

3

2)

Х

( 1)k (k 1)

k,

k Z

,

f(x) = 2sinx;

6

2

3)

Х

( 1)k

k,

k

Z , f(x) = cos22x;

4

2

4)

Х

7

k,

k Z

, f(x) = 2cos2x;

6

2k 3

13

, f(x) = tgx.

5)

Х

( 1)

k, k Z

3

1.23. Определить значения, которые может принимать функ-

ция, при условии, что cosx =

1

.

1) y = sin2x;

2) y = cos2x;

5

3) y = tgx;

х

4) y = sin2x;

5) y

2

= ctg

.

1.24. Вычислить значение функции, если известно, что sinх

3

5

и

х

;

.

2

1)

y

1

2)

y

sin 2 х

3) y = tg2x;

;

;

cos x

cos x

4) y = sinx + sin2x;

5) y = cos3x.

1.25. Определить, при каких х справедливы равенства.

cos 2x

cos2 x

x

x

2

1)

sin

x ;

2)

sin

cos

;

4

1 sin x

2

2

2sin x

4

13

3) tg2

x

2

1;

4)

4 5sin x 2cos2 x

sin x 2;

2

1 cos x

2sin x 1

5) tgx ctgx = 1.

1.26. Вычислить значение cоs3 , если:

1

3

1)

sin 2

,

;

;

2) cos 2

,

0;

;

2

4

2

2

2

3) tg2

3,

;

;

3

3,

4) ctg2

0;

;

2

2

5)

sin cos1,

;

.

3

2

2

1.27. Вычислить значение sin2 , если:

1) cos 2

1

;

2)

sin 2

3

;

3) tg

1

;

4

5

2

1

4)

tg

;

5)

tg2 2

2;

0;

.

2

3

1.28. Найти пересечения серий.

1)

x1

( 1)k

k, k ℤ; x2

2 k, k ℤ;

3

2

6

2)

x1

( 1)k

k, k ℤ; x2

5

k, k ℤ;

2

3

6

2

  • x1k, k ℤ; x2k, k ℤ;

4537

4)

x1

3

k, k ℤ; x2

k, k ℤ;

5

16

40

8

5)

x1

2

k, k ℤ; x2

k, k ℤ.

15

45

5

9

1.29. Найти функцию g(t), если:

1) g(sinx) = sin2x cosx + сtg2x;

2) g(cosx) = 2sin23xcosx;

3) g(tgx) = sin2x cos2x;

4) g(ctgx) =

sin x

;

5) g(sinx + cisx) = sinx cosx.

14

1.30. Для числа

x

3

, для которого sin x cos x

1

, най-

;

4

2

ти значение sinx + cosx.

1.31. Для числа

x

, для которого sin x

1

, найти значе-

;

2

4

ние cos

2x

.

6

 1.32. Изобразите на единичном круге точки, которые соответ-ствуют числам х, удовлетворяющим условиям:

1) sinx = p для

р 0;

1

2

2) cosx = p для

р

1

1

;

;

2

2

3) tgx = p для р ( ;

3];

4) сtgx = p для р [1; ) ;

1

3

5) sinx = p для р

;

.

2

2

 1.33. Изобразите на единичном круге точки, которые соответ-ствуют числам х, удовлетворяющим условиям:

3 2

3

1) sinx = p + 1 для всех р

;

;

22

2) cosx =

1

для всех

р [2; );

р

3) tgx =

p

для всех

р [2;2

3) ;

2

4) ctgx = p2

для всех

р [ 1;1];

5) sinx = |p|

1

1

для всех

р

;

.

2

15

 1.34. На единичном тригонометрическом круге изображены множества. Запишите эти множества на числовой оси.

абвгд

  • Тождественные преобразования тригонометрических выражений

– А –

Упростить выражения.

2.1. 1) 7cos2 – 5 + 7sin2 ;

2) –4sin2 + 7 – 4cos2 ;

3) cos + tg sin ;

4) cos4 + sin2 cos2 ;

5) 1 – sin ctg cos ;

6)

(1 sin )(1 sin )

;

7)

1 cos2

tg2 .

cos

cos2

2.2. 1)

(sin / 2 cos / 2)

2

;

2)

1 sin 2

;

1 sin

sin cos

3)

sin()cos( / 2 )

;

4)

sin 5 sin

; 5)

1 cos 2

.

cos2 1

cos 3

1 cos 2

2.3. 1) cos

2

2

3

() cos

2

;

2

3

2

2)

sin

sin

();

3) sin

cos();

2

16

4)

3

sin

cos

2

2

5)

cos() sin

cos

3

;

2

2

3

3

3

sin

tg

cos

2

2

6)

2

;

7)

;

cos(4)

sin

3

sincos

tg 3

8)

2

;

9)

.

1 cos2

3

ctg

2

2.4. 1) sin3 cos2– cos3 sin2 ;

    • 2
  • sin5 cos3 – sin3 cos5 + cos(2 – 2 );

4) sin4 sin3 – cos4 cos3 – sin

;

2

5) sin2,5 cos1,5 + sin1,5 cos2,5 + cos( + );

6) sin2 sin4 – cos2 cos4 + sin

;

2

7) cos5 sin4 – sin5 cos4 + cos

.

2

Вычислить.

2.5. 1) sin22,5 cos22,5 ;

2) sin15 cos15 ;

3) sin275 – cos275 ;

4) cos267,5 – sin267,5 .

2.6. 1) sin13 cos47 + sin47 cos13 ;

  • cos27 cos63 – sin27 sin63 ;
  • sin68 cos23 – sin23 cos68 ;
  • cos103 cos43 + sin103 sin43 ;

17

  • sin48 cos72 + cos48 sin72 ;
  • cos53 cos82 – sin53 sin82 ;
  • sin13 cos58 – cos13 sin58 ;
  • cos24 cos54 + sin24 sin54 .

2.7. 1)

sin 20 cos 290

;

2)

sin 40 cos 310

;

2sin10 cos10

sin 20 cos 20

3)

2(cos2 80 sin 2 80 )

4)

2(cos

2 20 sin2 20 )

;

.

cos160 sin110

cos

40 sin 230

– В –

2.8. Упростить выражения, преобразовав их произведения.

1) sin2x – 2sinx – 3;2) sin2x + 4sinxcosx – 5cos2x;

3) sin2x – cos3x – 4cosx;4) cos(5x + 1) – cos(x – 1);

5) cos3x – sin3x.

2.9. Доказать тождества.

  • 2sin sin 2 = tg2 ;

2sin sin 2

2

2) sin23 – sin22 = sin5 sin ;

3)

sin 2 (1 tg2 tg ) (1 sin )

tg2 tg

2

+

;

1 sin

4

2

  • ctg2 ctg2 cos2 cos2 ; sin2 sin2

5)

sin2 x

sin x + cos x

= sin x + cos x ;

sin x cos x

tg

2 x 1

1 sin 2α

1 tg

2

6)

2

= sin α ;

sin α+cos α

1 tg

2

2

2

3

7)

cos2

sin

sin

=

;

3

2

3

18

  • sin6 + cos6 = 1 3 sin2 2 ; 4

3

sin3

7

tg

cos

2

2

9)

2

=

sin

2

;

3

cos

tg

2

2

  • ctg ctg(270 ) 2cos(135 )cos(315 ) = 0; ctg ctg(270 )

2

2

11) 2

sin

sin

sin 2 .

8

8

.

2.10. sin( 3 ) sin( 3 ) ctg .

sin(3 )sin(3 )

2.11. tg tg + (tg + tg ) ctg(+).

tg

tg

8

8

2.12.

.

1 tg

tg

8

8

2.13. 1)

cos4

sin 4

;

2)

sin 2 tg

;

(sin cos )2 1

cos 2 tg

  • tg2 tg2 60 3tg3 ctg ; tg2 ctg2 60

  • 1 sin 2 cos 2 tg . 1 sin 2 cos 2

2.14. 1)

sin 38 sin 22

;

2)

cos 41 cos 49

;

cos8

sin 4

19

3)

sin 70 cos 40

;

4)

sin 74 cos 74

;

cos 50 cos110

sin 89 cos 59

  • 2cos 40 cos 20 . sin 20

2.15. 1) 2cos20 cos40 – cos20 ;

  • sin10 sin50 sin70 ;
  • 4sin20 sin40 sin60 sin80 .

2.16. 1) sin x cos x cos 2x ;

sin xcos x

  • 1 sin 2xcos 2x sin 2x cos 2x ; cos2 x

  • cos2 3x cos2 5x ;

sin 8x

sin x sin 3x

4)

cos 2x cos 4x cos 6x

;

5)

.

cos4 x 6sin 2 x cos2 x sin 4

x

cos x

2.17. Сократить дроби.

1)

sin x sin 3x sin 5x

2)

(1 tg2 x)(1 cos 2x)

;

sin 2x cos x cos 2x sin x

cos 2x

3)

sin 2x sin 4x sin 6x

;

4)

sin x sin 3x

;

sin x sin 2x

cos2 x

  • sin 2x(1 2cos 2x) . sin 3x

    • Обратные тригонометрические функции

– А –

3.1. Найти значения выражений.

1

3

1)

;

arcsin

arctg( 3)

arccos

2

2

20

1

1

1

2)

arcctg

arccos

arctg

;

3

2

3

  • arcsin1 arccos( 1) arctg1;

1

1

4)

arcsin

arccos

arctg( 1) ;

2

2

2

2

5)

arcsin

2arctg 3;

arccos

2

2

3

1

6)

arctg1 arcsin

arccos

;

2

2

7)

arctg(

2

;

3) arccos0 arcsin

2

3

1

8)

arcsin1 arccos

arcctg

;

2

3

9)

arcsin1 arccos

1

arcctg0;

3

2

1

3

10) arcsin

3arctg

arccos

;

5

3

  • arctg10 arcsin1 arcctg10.

Вычислить.

1

3

3.2. 1)

sin

arccos

2

arcsin

2

;

1

1

2)

arcctg

cos

arctg

;

3

3

1

3)

tg arccos

arctg

3

;

2

2

4)

ctg

arcsin1 arccos

2

21

1

5)

cos

2arctg(-1) 2arcsin

.

2

– В –

3.3. Вычислить.

3

3

1) sin arccos

;

2)

cos arcsin

;

4

5

2

1

1

3) tg

arccos

;

4)

ctg arccos

;

3

4

5) sin arctg 2 ;

6)

tg arcsin

;

3

5

2

6

1

7) ctg arccos

;

8)

cos

2arcsin

;

5

3

5

3

9) sin 2 arccos

;

10)

tg

2arcsin

;

13

5

11)

cos(2arctg3);

12)

sin

3arcsin

;

1

3

13)

4

14)

1

1

cos

3arccos

;

sin

arccos

;

5

2

9

1

12

5

15)

cos

arctg

15

;

16) cos arcsin

arccos

;

2

13

13

17)

2

4

;

18)

2

tg arctg

arccos

tg arcsin

;

5

5

3

19)

tg

arcsin

;

5

3

3

20)

tg

2

5arctg

0,25arcsin

3

2

22

21) sin 2arcsin

3

.

22) cos(2arctg2).

5

1

1

3

3

23) cos

arccos

.

24) sin arcsin

arccos

.

2

8

5

5

3.4. Найти значение выражений.

1)

arcsin sin

93

;

arctg ctg

2)

47

;

5

7

3)

arccos sin

101

;

4)

89

arcctg tg

;

7

5

5)

1

17

27

arccos

sin

cos

;

2

5

5

6)

arcsin cos

239

cos

253

7) arcsin(cos2);

;

42

42

1

8)

arccos sin

;

9) arcsin(sin5);

2

10) arcos(cos10);

11) 2arctg(ctg2).

 3.5. На единичном круге отмечены точки. Записать соответст-вующие им серии на числовой оси.

а

б

в

г

д

3.6. 1) Вычислить значение функции f (x) cos2 (arctg

x2 3x

)

в точке х = 1.

2)

Вычислить значение функции

f (x) arcsin(cos(x2 3x)) в

точке х = 1.

23

3.7. Решить уравнения.

1)

arccos 2x

;

2)

arcsin(1 3x)

;

3

6

x 1

3)

arctg( 3(x

1))

;

4)

2arcctg

;

6

3

3

  • arcctgx arcctg( x). 2

3.8. Определить, сколько целых значений принимает функция.

1) f(x) = 2arcsin(2x + 3) + 3;

2) f(x) = 3arccos(1 – x) –1;

1

х

3) f(x) = 2arctg

– 2;

4) f(x) = arcctg

+ 2;

х

х 1

5) f(x) = 2(arccosx – arcos(–x)).

3.9. Найти наибольшее целое х из области определения функ-

ций.

3x 2

1) f(x) = arcsin(x2 – 6x + 9);

2)

f (x) arccos

;

x 1

5

3) f (x) arcsin

;

4)

f (x) arccos(

1);

x 1

x 2

1

5) f (x)

4 x arccos

4 x2

.

3.10. Определить, что больше.

1) arccos

1

или arcsin

4

;

2) arcsin

3

или arctg2;

3

5

5

4

1

3) arccos

или arcсtg(–2);

4) arcctg2 или arctg

;

5

3

5) arcctg

5

или arccos

2

.

4

5

3.11. Вычислить.

1

2

1

1

1) sin arccos

arcsin

;

2)

cos arctg

arccos

;

3

3

2

24

2

1

3)

tg arcctg2 arcsin

;

4) ctg arctg

;

3

3

4

5)

sin arcsin

1

( 1)

.

k

4

4

3.12. Решить неравенства.

arcsin(2x 3)

x 1

2

1)

;

2) arccos

;

3

x 1

3

3) 2arctg(3x + 1) >

;

4)

–arcctg(2x – 1) < arctg1;

3

2

5)

arccos

1

5

.

6

x

6

3.13. Определить, при каких х справедливы тождества.

1) sin(arcsin2x) = 2x;

2) arcsin(sinx) = x;

3) arctg

1

= arcctgx;

1

х

4) arcsin

1 х2

= arccosx;

5) arccos

= arctgx.

1 х2

3.14. Найти наибольшее значение функции

9

2x

2

4x 3

y

arccos

.

2

– С –

3.15. Решить уравнения.

x

1

= arcctg(2x + а);

1) sin arcsin

5x a;

2) arctg

2

х

3) arcsin(sin2x) = a;

4) arcsin

1 х2

=arсcos(a – x);

5) arccos

1

= arctg(3x+a).

х2 1

25

  • Тригонометрические уравнения

– А –

4.1. Запишите решения простейших уравнений.

1) 2sinx = –1;

2) cos2x = 1;

1

3) tg 2x

3;

4) ctg

x

;

6

3

3

5) sin(3x 2)

3

;

6) cos =

1 ;

2

x

2

7) sin2x = –1;

8) ctg

3

;

2

9)

1

;

sin x

2

6

  • cos x; 2

x

3

13) cos

;

2

2

6

3

15) sin 2x cos x

0 ;

2

10)

2x

sin

0.

3

12)ctg

x 1 ;

4

  • sin(3x 2) 2 ; 2

16) cos3x(sinx + 1) = 0;

3

17)

(tg2x + 1)

sin 3x

0 ;

2

19)

3tg

;

x

3

8

  • 2cosx ctgx + ctgx = 0;

18) ctg(3x + 4) = 1 ;

3

20) 2sin2x = sinx;

22) cosx cos2x = cosx.

 4.2. Записать решения простейших уравнений с помощью об-ратных тригонометрических функций.

2

1

1) sin(2x) =

;

2)

2cos

x

;

3) 3tg

2x

= –1;

3

6

3

3

3

4) 2 – 3ctg

x

3;

5) 4cos

2x

1.

4

3

26

4.3. Определить, сколько корней имеет уравнение на отрезке.

1)

3x

x

3

2cos

1,

;

;

6

4

4

7

5

2)

2sin

2x

3, x

;

;

3

3

3

3)

3tg 2 x

1, x

;

;

6

4)

x / 3

1, x;2 ;

12

3

6

5)

2ctg 2x

12, x

; .

2

5

4.4. Укажите наибольший корень уравнения на отрезке.

1)

3tg(2x + 1) = 3 ,

x [–2; 4];

2)

2cos(2 – 3x) = 1,

x [–3; 5];

3)

–2sin(x + 3) = 1,

x [–2; 6];

  • 3ctg(3 – 4x) = 3 , x [2; 8];
  • 2cos(2x – 1) = – 3 , x [–5; –1].

Решить уравнения.

4.5. 1)

2

x

2

2

1

4sin

3;

2) 4cos 3x = 1;

3)

cos

x

;

3

6

2

2

1

4) tg x =

;

5)

sin

2x

1.

3

3

4.6.

1) 3 sin x tgx = 0;

2) sinx + 2cosx = 0;

3) cos x

3

sin x 0 ;

4)

3

sin 2x cos 2x 0;

5) 5sinx – 3cosx = 0;

6)

3cosx + 2sinx = 0.

4.7.

1) 2cos2x = 3sinx;

2)

2cos2x + 4cosx = 3sin2x;

3) cosx + 2cos2x = 1;

4)

6cos2x – 13sinx – 13 = 0;

27

5) cos2x + 3cosx + 2 = 0;

6)

3 + 5sin2x = cos4x;

7) tg22x – 7tg2x + 10 = 0;

8) tgx + 3ctgx = –4;

9) 6cos2x = 9cosx –

4sin2x;

10) cos2x +

3

cosx + 1 = 0;

11)

2cos2x – 11sinx – 7 = 0;

12)

7cos2x – 3sinx = 5;

13)

5tgx +

1

= 5;

14)

2sin2x + 7cosx + 2 = 0;

cos x

15)

2sin2x – 5cosx + 1 = 0;

16)

3sinx + cos2x = 2;

17)

5sin25x + 20cos5x = 20;

18)

3x

7 cos

2

3sin

3x

5 0;

4

4

19)

2cos2x = 12 – 21sinx;

5 + 2cos2x – 4

20)

3 sin x

= 0;

2

  • 3cos2x – (2 + 3 3 )cosx + 3 +3 = 0;
  • 4cos2x – 2(1 + 2 2 )cosx + 4 + 2 = 0.

4.8. 1) sin2x – 10 sinx cosx + 21cos2x = 0;

  • sin2x + 3sinx cosx + 2cos2x = 0;
  • cos2x + 4sin2x + 2sin2x = 0;
  • 4cos2x + 2sin2x = 3sin2x;
  • 5sin2x + 4sinx cosx – 5cos2x = 2;
  • 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 3;
  • 3sin2x + 5cos2x – 2cos2x + 4sin2x = 0;
  • 2sin2x – sinx cosx + 5cos2x = 2;
  • sin2x – 30sinx cosx + 25cos2x = 25;
  • (sinx + 2cosx)(3sinx + cosx) = sin2x;
  • 5 – 4sin2x = 5cos2x;
  • 3sin2x + sin2x = 2;
  • 3 sin2x – sin2x = 3 cos2x;
  • 4sin2x + 3sinxcosx – 7cos2x = 0.

28

– В –

4.9. Найти сумму корней уравнения на данном отрезке.

2

x

1)

cos

0,5,

x

; ;

2

4

2

2

5

2)

2sin

x

1,5,

x

;

;

3

4

4

2

3)

tg

x

1, x

;

2

;

2

4

3

5

4)

сtg

2x 3,

x

;

;

3

6

6

2

3

5)

4cos

x

1,

x

;

.

3

2

4

4.10. Найти х, удовлетворяющий уравнению: 1) sin2x = 0,5;

1

2) cos(1 – x) = –1; 3) tg(3x) =3 ;4) ctg(2x + 3) = ;5) sinx =

= sin2x, для которого функция у = х2 – 2х + 3 принимает наимень-шее значение.

Решить уравнения.

4.11. 1) sin x cos x

1

;

2) sinx – cosx = 1;

2

3)

sin x cos x

4) sin x

cos x 1;

3

2;

3

5) 3 sin xcos x 3.

4.12.

1) (sin 2x 3 cos 2x)2

5 cos

2x ;

6

2) cos 2x

3

sin 2x 5cos x 5

3

sin x 6 0.

4.13.

1) sinx + 3cosx = 2;

2) 3sin2x – 2cos2x = 3;

29

3) 3cosx – 4sinx = 5 .

2

4.14. 1) sin5x = sin3x;2) cos6x + cos4x = 0;

3) sin7x + sinx = 0;4) cos10x – cos4x = 0;

5) sin3x – cos5x = 0;6) sin2x + cos6x = 0;

7) cos3x + sin(9x + 2) = 0.

4.15. Найти наименьший положительный корень уравнения.

1) sin2x = sin x

;

2)

cos x

cos

;

3

6

5

3) tg 2x

= tg

x ;

4) ctg x

= ctg

x ;

4

3

4

4

5) cos2x = sin

x .

3

Решить уравнения.

4.16. 1) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0;

2) cosx + cos4x + cos7x = 0.

4.17. 1) sin2x sin6x = cosx cos3x;

3) cos3x sin7x = cos2x sin8x;

  • sinx sin3x + sin4x sin8x = 0;
  • sin5x cos3x = sin2xcos6x.

4.18. 1)

cos

5x

sin x 2 cos 3x ;

2

2) sin9x + 3 cos 7x sin 7x

3 cos 9x ;

3) 2cos3x sinx + 2cos

2

х

= 1;

4

  • sin 2 4x sin 2 2x 9 ; 16
  • cos2 x 2sin 2 5x 3 cos10x ; 2

  • sin2x + sin22x + sin23x = 3 ;

2

30

7) cos22x + cos23x = cos2x + cos24x;

8) sin4x + cos4x =

5

;

9) cos4x – sin4x = cosx;

8

10)

sin 4

x

cos

2x

cos4

x

6

3

11)

sin6x + cos6x =

7

;

12) sin4x +

16

13) tg2x = 12cos2x.

4.19. 1) 1 – sin2x = cosx – sinx;

  • 2(cosx – sinx)2 – 5(cosx – sinx) + 2 = 0;
  • sinx + sinx = 1 + 2sin2x;

2

  • 2(sin 2x cos 2x) 3 sin 4x.
  • 2cos4x + 7(sinx + cosx)2 + 2 = 0;
  • 1 + 5sinx = 3sin2x + 5cosx;
  • 7sin2x + 15sinx = 9 + 15cosx.

4.20. 1)

4cos x

5

sin x 1 0;

6

3

1

2) cos xsin x

0;

4

3

3)

4sin x cos x

3.

3

4.21. 1) 2sin 2 x cos x5 sin 2x 3cos x;

2

  • sin2x = tgx(4 – 7cosx);
  • 4sinx sin2x sin3x = –sin12x;
  • 4cosx cos2x cos3x = 1 – cos8x;
  • sin2x sinx – 0,5sinx – sin2x = 1 ; 2
  • 3 tgx + 2cos2x = 2;

2 ;

6

cos4x = sin2x – 1 ; 2

31

  • 3 cos3x = 4(sin3x – sin33x);
  • sinx = 22(cos3 x cos x) ;
  • 4ctgx + 8cosx – 2sinx – 1 = 0;
  • 5tgx –15sinx – 3cosx + 1 = 0;
  • cos32x – sin32x = cos2x – sin2x;
  • 8cos3x + 1 = 2cosx + 1;
  • 3sinx + 33 cosx – tgx – 3 = 0;
  • cos7x(3cos3x + sin3x)2 = 10cos37x;
  • sin3x – cos3x = –17 (sin4x – cos4x);
  • cosx(6sin2x – 4) = –5sin2x;
  • cosx – 1 = cos2x – cos3x;
  • x (cos 5x cos 3x) 2x cos x.

4.22. 1)

2

2sin x

3 sin x

cos x

2;

6

6

2

2) 2

2 sin x sin x

3cos x

1 0.

4

4

4.23. 1) cos6x – 12cos3x = 4 – 9cosx;

  • 48sinx – 6cos6x = 5 + 64sin3x;
  • 27sin3x + 81sin x= 4.

3

4.24. 1) 2sin

x

6 2cos x

;

3

6

2

2) 2sin

x

2cos x

3.

3

6

4.25. 1) 2cosx + cos2x + 1 = 2 cos2

x

cos 2

3x

;

2

2

2) cosx + cos

x

cos

2x

1;

3) sin2x – sin

2x

cos

4x

1.

3

3

32

 4.26. Найти возможное значение tg4х, если х удовлетворяет уравнению:

  • cоs4x – 3sin2x + 1 = 0;
  • 2sin22x + ( 3 – 2)cos2x + 3 – 2 = 0;
  • 3 tg28x – 2tg8x – 3 = 0;
  • 4sin28x – 2(1 + 2 )sin8x + 2 = 0;
  • 2cos24x + ( 3 – 2)cos4x – 3 = 0.

4.27.на указанном.

1) sin2x + 2sinx = 1 + cosx,[–4; –3];

2)

sin2 2x

3

,

x (0 , 45 );

4

5

9

3)

ctg

2

x

1

,

< x <

;

12

3

2

2

4) sin7 x = cos3 x, [0,1; 0,9].

Решить.

1 2sin2

x

4.28. 1) (sin x cos x)2

0 ;

2)

2

0 ;

3x x2

4 x2

3)

x 2 sin

2x

0;

4)

2x cos x

0;

3

3x

2x

3

tg

ctg

5)

4

0;

6)

4

0.

x 2

(x )( 2x)

4.29. 1) (cos3x 1)

6 5x x2

0 ;

  • (sin2x + 2 – 3 sin2x – cos2x) х(4 х) = 0;
  • 30 x 20x2 (cos 6 x cos 2 x) 0;
  • (sinx – cosx) x2 19x 34 0;

33

  • x 3 (cos 4x sin 3x cos 2x) 0;

1 x

  • 2sin2 2 x 3cos 4 x 0.

x 3

4.30. 1)

cos x sin x

0;

3

2

2)

tgx sin x

0;

3

3) sin x (sin x 3 cos x)0;

2

1

4)

ctgx sin

x

0;

4

5) sin xcos x(ctgx 3)0.

4.31. Найти число х, удовлетворяющее уравнению:

  • 2sin2x + 2(sinx – cosx) – 1 = 0;
  • 2sin2x + sinx – sin2x – cosx = 0;
  • 2(sinx +cosx) + tgx + 1 = 0;
  • 2sin2x – sinx – cosx + 1 = 0;
  • tgx ctgx + tgx –ctgx = 1.

для которого функция у = 3 – |x – 2| принимает наибольшее значение.

4.32. Найти целые решения уравнений.

1) sin2x = sin(x2 + 1);2) cos3x = cos(2x – 3);

3) tg5x = tg(3x + 4);4) ctg(3x + 2) = ctg(5x – 4);

  • sin x cos 2x 3 .

26

 4.33. Пусть х1 и х2 (х1 х2) – два решения уравнения, принадле-жащие интервалу (0; ). Найти tg(x1 + x2) для уравнений:

  • sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0;
  • 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;
  • 2sin2x + 3sinxcosx – 5cos2x = 1;
  • (sinx + cosx)2 – 3sinx cosx – cos2x = 0,5;
  • cos2x – 3sinxcosx = 0.

34

4.34. Найти х – решения уравнения f(x) = 0, для которых g(x)0.

1) f(x) = 4sin 2 2x

3

;

g(x) 2cos 3x

1

;

3

6

2) f(x) = 2cos2

3x

1

;

g(x) sin x

sin

2x

;

4

3

3

3) f(x) = tg2

2x

3

;

g(x) sin x cos 2x ;

6

4) f(x) = ctg

2

x

1

;

g(x) cos x sin 2x ;

2

3

5) f(x) = cos22x – cos2x;

g(x) = 4cos2x – 1.

Решить уравнения.

4.35. 1)

sin 2x

1;

2)

cos 2x

2

;

sin x

sin x cos x

3)

cos 3x

0;

4)

sin 3x

3

;

cos x

sin 2x

2

5)

cos 3x

3

;

6)

2 3sin x cos 2x

0 .

sin 2x

2

6x2 x 2

7)

2sin x 1

0 .

2cos x

3

1 2sin 2 x 3

sin x sin 2x

8)

2

1.

2sin x cos x 1

2 x 3

9)

6sin x 2cos 2x 4 cos

0 .

sin x 3cos x

10cos2 x 3cos x 1

7

10)

0.

2sin x

3

  • cos 2x cos8x cos10x 0. cos x 1

  • sin 3xsin 5x cos8x 0. sin x 1

35

  • sin 2x 2sin 2 x 4cos 2x cos x sin x. sin x cos x

4.36. 1) 13 18tgx6tgx3 ;

  • 6 sin x 7 cos2 x sin x 0 ;
  • 2cos 2x 4cos x 3 cos x 1;
  • sin3 x cos3 x sin x 0;
  • cos x 2 sin x;

2

6) sin2 x 3 sin x1cos x;

7)sin 2 x3sin x17cos x.

9

 4.37. Найти наименьшее расстояние между решениями уравне-ний.

1)

1 4 cos x 2sin x;

2)

sin x cos x sin x cos x;

3)

tgx;

4)

sin x

;

sin x cos x

tgx 2

| sin x |

5)

tgx.

1 cos 2x

4.38. Найти х – решения уравнения f(x) = 0, для которых g(x)0.

1) f(x) = 2sin

g(x) 2cos x 1 ;

x sin x

1;

3

3

5

g(x) = tgx – 1;

2) f (x) 2 sin

2 cos x

1;

4

  • f (x) | sin x | 1; g(x) = 1 – 2sinx; cos x
  • f(x) = tg3x ctg4x + 1; g(x) = (tgx – 1) |2cosx – 1|;

5) f(x) = sin 2

(sin x cos x)2 3;

g(x) = sinx – cosx.

x

4

36

4.39. Решить уравнения.

1)

|–sinx| = 2cosx;

2) |1 + 2sinx + cosx| + cosx = 0;

3)

|sinx – cosx| = 1 – sin2x;

4)

cos2 x 2

5cos x 1;

2

5

5)

1 + 2|cosx|sinx = 0;

6)

|cosx + cos3x| = –cos2x;

1

7)

sin

x cos

x cos x

;

4

4

2

2

sin x sin

sin

;

8)

3 2sin 2 x 2

3

sin x cos x

3

6

2

3

9)

1 cos

xcos x 8sin(x );

2

  • 2cos2 x (1 cos x) sin x 4cos( x); 2
  • 2sin2 x (1 cos x) sin( x) 5cos x.

2

4.40. Найти наибольшее решение х[ ; 2 ] уравнений.

1)

sin x

cos x

0;

2)

2cos x

sin x

0;

2

| cos x |

| sin x |

3)

2cos x

3sin x

0;

4)

tgx

| sin 2x |

5)

tgx

sin 2x

0.

| sin 2x |

4.41. Найти отрицательное число х, наименее удаленное от

  • = 0, удовлетворяющее уравнению:

2 | x |

| x |

1) sin

1;

2)

2cos

1;

6

3

1

3) tg(|x – 1|) = 3 ;

| x 1|

4) ctg

;

3

3

37

5)

cos

2

| x |

0,5.

4

4.42. Найти решения системы уравнений с одним неизвестным.

sin

3x

1,

1)

4

cos

2x

1;

6

3x

cos

1,

3)

4

tg

2

x 1;

2 5

sin

2x 0,25,

5)

6

cos x

cos x.

3

Решить уравнения.

4.43. 1) sinx cos2x = –1;

3) sin7x + cos6x = 1;

sin

2x

2)

3

4cos

2

x 1;

2

2x

sin

0,75,

3

4)

cos x

0,5;

6

  • 3cos2x + 5cos27x = 8;
  • sin 2x cos 2x 1.

4.44. cos4 xcos3 x9 cos2 x 1 3 sin 2x.

4

13

3

4.45. sin

sin x

.

9

2

4.46. 2 cosx = |x| – |x – |.

4.47. arcsin 1x .

  • 2

 4.48. Пусть х1 и х2 – два решения уравнения 2cos2x + cosx – 1 = 0, причем х1 х2 + 2 k, k ℤ. Найти значение выражения 4сos(х1 + х2).

38

4.49. Сколько решений уравнения

sin

cos x

cos

sin x

принадлежат отрезку [0; 100]?

2

2

sin(2 x) sin

;

4.50. Решить систему

12

В ответе указать ко-

cos(3 x) cos

.

8

личество решений в интервале (0; 10).

 4.51. Решить уравнение sinx + sin5x = –2. В ответе указать от-ношение наименьшего решения на отрезке [–15; –1] к наибольше-му.

4.52. При каких значениях а уравнения имеют решения?

1) asinx = a + 1;

2)

(a + 1)cosx = 2a – 3;

3) sinx + a = a2 + 1;

4)

2asinx = a2 + 1;

5) (a2 + 1)cosx = 2a.

4.53. При каких значениях а уравнения не имеют решений?

1) asin2(3x) = a + 1;

2) a – cos(3x + 1) = a2 – 1;

2

3) a sin(2x – 1) = a – 2;

4)

cos

2x

a 2 ;

3

5) cos3 (2x)2a1.

a2

 4.54. При каких значениях а уравнение asinx + (a2 – 4)cosx = 1 имеет решение x 5 ? В ответе указать произведение таких а.

3

 4.55. Найти наименьшее положительное значение а, при кото-ром число х = является решением уравнения:

3

2ax

1) 2sincos(2xa )1;

3

39

2)

2cos

2

3x

a

1;

ax sin

2

  • sin(a +2x) cos(x + 2a) = 1;

4) sin(ax + 2 a) + cos

(а 2)х

0

3

  • 2cos(2ax) – 8sin(ax) + 3 = 0.

 4.56. Определить, при каких значениях а уравнение f(x;a) = 0 имеет решения на отрезке [ ; ].

  • f(x, a) = (x + 1)sina + cosa, = 0, =1;
  • f(x, a) = (a + 1)sinx + cosx, = 0, = ; 4

1

3) f(x, a) = x2sina + xcosa,= ,= 3 ;

  • f(x, a) = a2sinx + acosx, = , = .

43

 4.57. Найти все значения а, при которых любое решение урав-нения f(x) = 0 является решением уравнения g(x, a) = 0.

  • f (x) 1 cos 2x sin x ; g(x, a) = asinx + (a2 – 7)cos2x; tg2x
  • f (x) cos x cos 2x ; g(x, a) = a2cosx + asin2x + 2a – 3; 4sin2 x 3

3) f (x)sin 2xcos 2xsin xcos x 1 ; g(x, a) = acos22x +

12cos2x

+ a2sin2x + 3a + 2;

sin 2x 2sin2 x cos x sin x

22

4)

f (x)

; g(x,a) = a cos x + asin2x – 4;

2cos2x 1

5)

f (x)

1 sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x

; g(x, a) = asinx + (a2 +

cos2x

+ 1)cos2x + 2a – 4.

Решите уравнения при всех значениях параметров.

4.58. 1) 4sin2x + acosx = cos3x;

40

  • sin4x + (a – 5)sin2x – 2(a – 3) = 0;
  • cos2x + asinx = 1.

4.59. 1)

b

a2

sin 2 x a2 2

5;

2)

;

b 5sin 2

5x

1 tg2 x

cos 2x

3) |3sinx – a + 1| = 2sinx – 4a + 7;

4) |2cosx – a | – 2a = 3cosx + 1;

5)

cos x.

4.60.

При

каких

a

значениях

параметра

a cos x

а

уравнение

cos x

4 a

имеет на отрезке

43

;

13

два различных реше-

ния?

a 1

12

3

4.61.

При

каких

значениях

параметра

а

уравнение

[10cos2 x (2

50

)cos x

2

](a cos x 2a 3) = 0 имеет на отрезке

0;

ровно два различных решения?

3

4.62. Найдите все значения параметра а, при которых уравне-

ние (1 a)tg2 x

2

3a 1 0 имеет на интервале 0;

более

одного решения.

cos x

2

4.63.

При

каких

значениях

параметра

а

уравнение

cos x sin2 x a(3cos x 2)

имеет на интервале arccos

2

;

един-

ственное решение?

3

2

4.64.

При

каких

значениях

параметра

а

уравнение

2tgx(8 7sin

2

x) 2cos 2x a sin 2x 10

имеет на интервале 0;

ровно три различных решения?

2

4.65.

При

каких

значениях

параметра

а

уравнение

2

2

2x

a

cos x sin

2a x

2

1 3

имеет единственное решение?

a1

41

4.66.

При каких

значениях параметра а

уравнение

4cos(arcsin x) 2sin(arccos x) cos(arccos x) 2a имеет

единствен-

ное решение?

4.67.

Решите систему уравнений

sin x a cos y 1,

2asin x cos y 2.

4.68.

При каких значениях р неравенство

sin 2x ( p 1)(sin x cos x) 2 p 1 0

выполняется при всех действительных значениях х?

4.69.

При каких значениях с неравенство

cos2 x (c 1)sin x 3c 2

выполняется при всех действительных значениях х?

4.70.

Найдите все а R, при которых все корни уравнения

(4x 1)[2 2sin 2x

(a 2)(sin x cos x) 1] 5a2 x

5

a2 0

2

4

неотрицательные.

 4.71. При каждом значении параметра а найти наименьшее зна-чение функции у = (arccosx)2 – 2·a·arccosx – 1 + a2.

 4.72. При каждом действительном значении а найти наимень-шее значение функции

  • (x) cos2 (1 24x x2 3) 4a cos (1 24x x2 3) 3a 1.

33

– С –

4.73. При каких целых значениях параметра а уравнения имеют

на отрезке

;

3

ровно пять решений?

2 2

1) sin(a + 1)x = 0;

2) cos(2ax) = 1;

ax

3) tg

1;

2

42

4) ctg

a x

3

;

5) sinax + cosax = 2 .

3

4.74. При каких значениях параметра а уравнение

sin((3a2)(x1) )1

не имеет решений на отрезке [1; 2]?

 4.75. При каких значениях параметра а расстояние между лю-быми различными решениями уравнения

sin

2ax

cos

ax

3

4

на числовой прямой будет не менее 1?

 4.76. При каких значениях параметра а на любом отрезке дли-ны числовой оси содержатся решения уравнения

3

sin

a

2x

cos(ax) ?

3

 4.77. Найти наименьшее положительное целое число а, при ко-тором уравнения не имеют решений.

1)

a cos x sin x;

2)

2 a sin x cos x;

3cos x;

a sin x.

3)

a2 9a sin x

4)

a sin x 8

4.78. При каких значениях параметра а (а >0) уравнение

1

sin a x

1

3

имеет на отрезке [0; 1] ровно два решения?

 4.79. При каких значениях параметра а положительные реше-ния уравнения f(x, a) = 0 образуют арифметическую прогрессию? В ответе указать сумму таких а.

  • f(x, a) = asin(x + a) – (a – 2)2;
  • f(x, a) = sin2x + (a2 – a)sinx – a3;

43

5

3) f(x, a) = |sinx| sin(x + a); a;;

22

4) f(x, a) = cosxsin(2x + a); a(–5 ; 3 );

  • f(x, a) = sinx cosx + 1 а 1 . 2

 4.80. При каких значениях а уравнение f(x, a) = 0 имеет хотя бы одно решение?

  • f(x, a) = asin2x – (a – a2 – 1) sinx – a(a – 1);
  • f(x, a) = 3sin2 x а + 3 – a.

 4.81. При каких значениях а уравнение f(x, a) = 0 имеет реше-ние? В ответе указать наибольшее целое а 100.

  • f(x, a) = а2 4 sinx + 2сosx + a2 – 2;
  • f(x, a) = cos2x + a2sinx.

4.83. При каких значениях а уравнение sinax = sinx не имеет

решений на интервале

0;

?

2

  • Тригонометрические системы уравнений

– В –

Решить системы уравнений.

5.1.

cos 2x sin y 2cos

2

30 ;

2cos 2x sin y sin 540 .

2

x cos

2

y

3

5.2.

sin

;

4

cos 2x2 cos y3.

44

5.3.

sin(2x y) 0;

cos(x y) 1

3

5.4.

x y

4

;

tgx tgy 2.

2

x y

;

3

5.5.

1

cos(x y) cos(x y)

.

2

1

sin xsin y

;

4

5.6.

3

cos xcos y

.

4

3

х 2cos y

11

5.7.

2

2

;

4x 10cos y 7.

5.8.

sin x cos y 0;

cos 2x cos 2 y 1.

3

cos xsin 2 y

;

4

5.9.

1

sin x cos 2 y

.

4

sin( xy)3sin x cos y1;

5.10.

sin( xy)2cos xsin y.

sin 2 x3cos2 x;

5.11.

| x1| 2.

45

 3 5.12. sin xsin y 4 ;

tgxtgy 3.

 1 5.13. cos xcos y 2 ;

tgx tgy 2.

3

tgx ctgx 2sin y

;

5.14.

4

tgy ctgy 2sin x

.

4

2

y

2

)(

2

1);

5.15.

16xy(x

2

2

(4x

4x)sin

y 1.

2tgx cos y

3;

5.16.

9

cos y

tgx

9

81

2.

sin x cos y cos x;

5.17.

2

cos x cos y

sin

x.

(arctgx)2 (arccosy)2 2k;

5.18.

arctgx arccos y

,

2

2

arccos x (arcsin y)2

k;

4

5.19.

2

4

(arcsin y)

arccos x

,

16

ℤ.

kℤ.

46

Тригонометрические неравенства

– А –

 6.1. Изобразить на единичном круге решения простейших не-равенств.

1) sin x

1

;

2) cоsx < 1;

3) 1 < tgx <

3

;

2

1

4) –1 < ctg x <

;

5) sinx > cosx.

3

6.2. Записать на числовой прямой решения неравенств.

;

2) cos x

1

;

1) sinx <

3

3) 1 < tgx <

;

3

2

1

2

4)

ctgx <

;

5) sinx + cosx < 1.

3

3

6.3. Определить, сколько целых решений имеет неравенство на

интервале (0; 2 ).

2x

1

x

1) sin

;

3

2)

2cos

2

3 ;

3)

3x

4)

x

3tg

1;

3ctg

1;

3

2

3

1

5)

cos

2x

.

4

4

 6.4. На единичном круге отметить множество решений нера-венств (применить метод интервалов).

1) (2sin x 1)(2cos x

3) 0;

2)

(2 cos x 1)(2sin x

3) 0;

3)

(2 cos x

2

)(1 2sin x) 0;

4)

(tgx + 1)(

3

– ctgx) 0;

5) (2sinx + 1)(tgx – 1) 0.

6.5. Записать решения неравенств на числовой оси.

1)

(2sin x 1)(2cos x

2)

(2 cos x 1)(2sin x

3) 0;

3) 0;

47

3) (2 cos x 2)(12sin x)0;4) (tgx + 1)(3 – ctgx) > 0;

5) (2sinx + 1)(tgx – 1) < 0.

6.6. Решить «квадратные» тригонометрические неравенства на

отрезке 2 ; .

1) 2sin2x – 3sinx + 1 <0;2) 4cos2x + 2(3 – 1)cosx – 30;

tg2x + (1 –3 )tgx – 3 < 0; 4) 3 ctg2x + (3 + 1)ctgx + 1 0;

tgx ctgx – cos2x > 0.

– В –

 6.7. Определить, при каких значениях параметра а неравенство справедливо для всех значений х.

1)

cos

(a 1)x

2) sin((a2 3a 2)x) 0;

0;

a 1

3) tg(x sina) 0;

4) ctg x cos a

2

0;

3

5) sinax + cosax0.

6.8. Решить неравенства.

2sin x 1(cos 2x 1) 0;

cos x cos (sin 2x 1) 0;

3

sin 2x sin (sin x cos x)2 0;

6

tg x 3 sin2 2x 0;

1 3 ctg x | sin x cos x | 0.

 6.9. Найти значения параметра р, при которых неравенство не имеет решений.

48

1) 2sin3x p(p + 1);

2) psin2x < p – 3;

3) psinx + (p + 1)cosx > 1;

4) (p2 – 1)sin4x < p – 5;

5) sin2x + psinx + 2 < 0.

6.10. Найти х на отрезке [a; b], удовлетворяющий системе нера-

венств f (x) 0;

g(x) 0.

1) f(x) = (1 – sinx)(2cosx + 1),

g(x) = tg2x – 1, a = 0, b = ;

2) f(x) = (cosx –1)(2sinx – 1),

g(x) = cosx – sinx,

a =

, b =

;

2

2

3) f(x) = cosx –cos2x – 1, g(x) = 2sin2x – 1, a =

3

, b =

5

;

4) f(x) =

| cos x |

1 ,

g(x) = sinx – cosx,

a =

, b =2 ;

2

2

sin x

2

5) f(x) = sinx – |cosx|,

g(x) = 2sin|x| – 1,

a =

, b =

3

.

2

2

– С –

6.11. Найти х, для которых неравенство

4xsina – cos2a(1 + x2) + 2x2 + 0,20

выполняется при всех а.

6.12. Найти х , удовлетворяющие неравенству

4a sin x a12 cos x2 ,

для всех допустимых значений а.

Тригонометрические функции

– B –

 7.1. Построить графики функций на указанных отрезках. В от-вете указать наибольшие и наименьшие значения функции на от-резке.

49

x 2

1)

y 2sin

,

x

;2 ;

3

2

1

x

x 0;2 ;

2)

y

2

cos

2

,

x

3)

y tg

,

x

2 ;

;

3

3

2

1

1

4)

y ctg

x

,

x

;

;

2

4

4

y = sinx – cosx, x 0; 2 .

7.2. Определить, при каких х справедливы тождества.

1) sin|x| = |sinx|;

2) cosx = cos|x|;

3) tg|x – | = tgx;

4) |ctgx| = ctg|x|;

x

cos x.

5) sin

2

7.3. Найти х, при которых верны равенства.

1)

cos 2x

(cos x sin x);

2 sin x

4

2)

sin 2x

2cos x

;

sin 3x 4cos2 x 1

3)

cos 3x

2sin x 1;

sin 2x cos x

4)

sin x(sin 2x sin 4x)

1 2cos 2x

;

cos x cos 3x

2

cos x cos 5x ctgx(1 2cos 2x). sin x sin 3x

7.4. Найти наименьший положительный период функции.

1) y = sin15x + cos21x;

2)

y cos

2

2x 1

;

3

50

y sin

3x

4) y = sinx cos2x;

;

3

5) y = sin2x – cos22x.

7.5. Пусть f(x) = cos2x. Найти наибольшее значение величины

2

|f(x1) – f(x2)|, если х1, х2;.

63

7.6. Пусть f(x) = sin2x. Найти наибольшее значение величины

f(x1) –| f(x2)|, если х1, х2 12 ; 6 .

7.7. Найти наибольшее значение функции f(x) = 2cosx + 3cos5x

на отрезке 0;

.

2

 7.8. Найти наибольшее возможное значение функции f(x) = = (sinx + sin3x)2.

 7.9. Определить, сколько найдется на отрезке [5; 10] чисел, яв-ляющихся периодами функции у = sin(4 x + 1)?

 7.10. Построить графики функций на указанных отрезках. В от-вете указать множество значений этих функций.

3

y = sin x, x 4 ; 4 ;

2) y = sinxcosx,

x

13 27

;

;

4

8

3

3) y = sinx|cosx|, x4 ; 4 ;

3 5

y = |sinx|cosx, x 4 ; 4 ;

51

y

sin x

, x

3 3

5)

;

.

| cos x |

4

2

 7.11. Функция у = f(x) в точке х1 принимает значение А. Найти значение функции в точке х2.

1) y

= sin2x,

3

A

, x

x

, x

;

;

5

2

1

4

1

4

4

2) y

= cos

x

,

A

5

,

x

2

x

3

,

x 2 ; 3 ;

2

13

1

2

1

y2 x1 7 ;

29

y = ctg x , A = 2, x2 x1 3 ;

34=tg3x,A1,x

5) y

= sin2x + cos2x,

1

3

3

5

A

,

x

x

,

x

;

.

4

3

2

1

1

8

8

– С –

 7.12. Найти значения а, при которых неравенства не выполня-ются ни при каких х.

1) asin2x – a3;

3) a |sinx|a – 2;

5) |tgx| + |ctgx| < a.

2) acosxa – 2;

4) (3 – 2a)|cosx|a – 1;

 7.13. Указать наименьшее положительное целое число х из об-ласти определения функций.

1)

f (x)

sin x

;

2)

f (x)

cos x

;

cos

x

(cos x cos 2 x)cos

3 x

2

4

tg

x

x 5

3)

f (x)

;

4) f (x)

8

;

13 x

23 x

cos

cos

10x x2 21

30

f (x) cos(x 2).

52

7.14. При каких х функция f(x) принимает целые значения?

f (x) 2 sin 2xsin x ; cos x

2)

1 cos 2x

;

f (x) 2

2cos

2 (3 x)

3)

f (x) cos( 2x) sin( 2x)tg

x ;

2

19

3

4)

f (x) cos

x

sin x

tg x ;

2

2

3

5)

f (x) 2cos x

tg x

tg 8 x .

2

2

 7.15. При каком положительном k наибольшее значение функ-ции у = ksinx + (k + 1)cosx равно 5?

 7.16. Определить, при каком наибольшем целом а < 0 график функции у = f(x) проходит через точку А.

5

1)

y sin ax

,

А

;1 ;

6

3

a

1

2)

y cos x

,

А

;

;

2

3

2

3)

y tg ax

a ,

А

; 1 ;

6

4

ax

4)

y ctg

,

А

;

3

;

a

3

5) y = sin(ax) – cos(ax), А

;1 .

6

 7.17. Определить, при каких значениях параметров а и b график функции y = f(x) проходит через точки А и В. В ответе указать наи-меньшее возможное значение |a| + |b|.

53

2

1

1) y = sin(ax + b ),

А

;1 ;

B

;

;

3

3

2

2) y = cos(2ax – b ),

А

;1 ;

B

;

1

2

3

2

3)

ax

y tg

b ,

А

;1 ;

B

; 3

;

2

4

4

b

1

4)

y ctg

3ax

,

А

;

;

B

; 1 ;

2

3

3

4

5) y = sin(ax + b ) + cos(ax + b ), A ( ; 1), B;2 .

 7.18. Для каждого допустимого а найти множество значений функции f(х, а).

f (x, a) a2 4 sin x 2cos x a2 2;

f (x, a) a cos2 x a2 sin x;

f (x, a) sin( x a) cos(x a) 1;

f (x, a) x2 sin a x cos a 3 .

8

54

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

 Основные формулы, используемые при тождественных преобра-зованиях степенных и логарифмических выражений:

am an am n ;

am : an am n ,

a > 0;

(am )n am n ;

n

am

am / n ,

a > 0;

a b (ab) ;

aloga b b,

a > 0,

b > 0, a 1;

log

m аn

n

,

a > 0,

a 1;

a

m

 loga b loga c loga b loga c

log a b logс b , loga c

logс b

1

,

logb c

loga (b c) ,

a > 0, b > 0, c > 0, a1;

loga (b / c) ,

a > 0, b > 0, c > 0, a1, b1, c1.

1. Тождественные преобразования

– А –

1.1. Вынести множитель из-под знака корня.

;

;

1)

8;

2)

a4

3)

n5m2

4)

3

27 b3

5)

32a6

;

6)

4

125x6

;

3

.

1.2. Внести множитель под знак корня.

1)

a5

3;

2)

97

q3

2;

;

3)

b5

4) 2a

3a

;

5) 3b3

b

;

6) n2

n

;

7) m2 3

m2

;

8) 2q7

q3

.

55

1.3.Упростить выражения.

0,3 10 6 15 0,1;

360 450;

5) 30,008 27;

7) 30,027 125;

9) 64 0,01;

11) 325 9 316 34;

13)4( 3)2 2 48 9;

15) 3152 ;

4319

17) 41620 ;

6420

19) 49 1;

3

21)381 31;

3

23) 448 27;

427

25) 443 425;

4 100

2) 4 27 48;

4) 4625 0,0016;

6) 40,0625 81;

8) 3 27 0,064;

10) 6510 37 332,5 5;

12) 427 5 435 125;

14) 3 250 ;

43 2

8318;

3144

18) 6 256 3 1;

2

20)338 3 4;

19

22) 440 2;

4 10

24) 4162 32 ;

48

5

4

4

128

26)

8

.

4

125

1.4. Вынести множитель из-под знака корня.

1) 4 81a16 ;

2)

6 64b18 ;

3)

5

220 b15

;

4)

3

712 c15

;

5)

5

1115 d10

;

6)

5

310 a5

;

7)

4

a12b4

при a > 0, b < 0;

8)

a6b4

56

5

192t

9) 4 27a 4 3a3

при a > 0;

10)

5

;

6t11

11) 3

: 5

: 3

16ab12

2a4b9

8m3

n

13)

3

c20

3

c8

;

14)

3

c16

3

c7

;

3 c

c17

3

8

16a5b7

8

15)

ab

3

, если a > 0, b > 0;

2

2ab

16) 3

8a3

a2b8

(2a 4

), если a 0.

1.5. Упростить выражения.

1) b 5,6 11b0,4;

2) k 5,2 4k 0,1;

3) c4,5 13c 0,5;

4) 7c

3 2c 3 ;

1

10

11

3

1

2

5) 8c 4 3c 4 ;

6) b 3 b 9 ;

2

3

1

7) 2b7 : (0,2b7 );

8) a0,75 : a 6 ;

9) (a0,45 : a0,3 )2;

10) (a2,05 a 0,85 )10;

1

1

2,4

2

4

11) a 2,5 : a

3

m

m

5

4 a 2 ;

12)

;

4

13) 5с

2

9

)2 ;

3(с

5

9

1

)5.

1.6. Найти:

наименьшее из чисел

3

3

1

; (3

)4,7};

3

1

1) {(

)

2

; 4

5

; 2

3

2) {(

2

2

3)4,2;94 ; (3 3)4,7;33};

наибольшее из чисел

3) {(0,5)2,8; 40,1; 2 0,5; (0,25)0,25};

57

1

1

1

6

4)

;(

5)0,8;(25) 2 ;(125) 0,5 .

25

1.7. Представить в виде степени с основанием 2.

1) 23

1

1

1

3) 2 (8 23);

4

3 ;

2) 4 2 163;

2

4

2

821/4

4)

248;

5)

41,5

.

1.8. Представить в виде степени с основанием 3.

1

2

3

3

3

4

1)

35 33 :34;

2)34 5

9

: 4

81;

3) (3 2,3

: 3

5)2;

3

4

4)

(31,3 30,45 )2 ;

5)

32,4 3

5

.

3 5,4

1.9. Найти значения выражений.

1)

34а 3–2а

при а

1

;

2) 27а 2–3а

при а

1 ;

2

2

3)

83b 8–5b

при b

1

;

4) 9–4b 92b

при b

1

;

5)

8

4а

8

–2а

при а

1

6)

при n = 8;

2

n3 / 5

4

3

1

7)

(a 2,3 : a 5 )2

при a = 3;

8)

(a 2,5 : a 3 )4 при a = 4;

32

1

1

1,5

0,5

2

1

1,5

3

при a = 2;

(a

: a

4 ) при a = 9;

9)

(a

: a

)

10)

4

a 0,75 1

162

11)

при a = 16;

a 0,5 a 0,25 1

12)

1 a 0,75

при a = 16;

a 0,25 (a 0,5 a 0,25 1)

58

a1,5

8b1,5

1

13)

3b 2 при a = 4 и b = 25;

1

1

a 2a

2

b

2

4b

1

14)

a 1

:

1 a

2

4

а

2 при a = 81.

1

3

1

1

a

2

a

4

a

2

a

4

Вычислить.

1.10. 1) 7 125

3

18;

2)6 2625

4

;

3)5 64

6

1

1

1

0,70;

5

2

1,5

1,4

4) 3

2

: 3

3

;

5)

11

;

6)

6

;

0,3

7

11

610

2

9632 ;

2 123

22,4

10) 5 20,4 ;

1

13) 52 54;

3

105

2

252 273 62 ;

25

2

1

 17)4 8 3 252;

27

1.11. 1) log77;

1

4) log0,3 0,09 ;

81

2

3

361,8

8)

2

;

9)

;

3

4 360,3

182

2

1

1

)6 2

4

11)

7

4

2

3

12)

(3

3

;

;

1

3 2

1966

95/ 4

14)

32

;

6

1

1

3

1 2

7

2

16)

7

2

;

9

9

3

1

16

2

18) 64

9814.

25

2) log164;

3) log525;

5) log625

1

;

6) log0,532;

5

59

7) log8

1

;

8) log0,10,01;

16

1.12. 1) log2 log2 42 ;

log2 log2 (26 16);

log3 log3 33;

1

1.13. 1) log3 54log3;

3575

3 log5 7

log5 20 log5 500;;3)log

7) log2 80log2 5;

9) 2log3 75 log3

1

;

625

7

1.14. 1) log0,5 32log7 49 ;

3) log2 1log 1 9;

4

3

1

5) log 17 49 log64 16;

1.15. 1) log68 – log62 + log69;

log7 14 log7 49 log7 3,5; 4

5) log 1 54log1 2log 1 81;

333

7) log448 – log49 + log43;

9) log 1

9;

10) log 1

1

.

32

3

8

2) log3 log3 3 33 ;

log5 log5 5 55 ;

log2 log5 5.

7

2) log12 144 log12 7;

11

3 (log1/ 2 27 log1/ 2 64);

lg50 lg 20;

1

8) log36 16log6 9 ;

log8 14 log8 32 ; 7

1

2) log16 8log25 5;

4) log 1 7log0,1100;

49

6) log

1

0,25

2 log

0,5

;

3

2

2) log3 15log3 5log3 1 ;

88

log496 – log43 + log42;

log390 – log32 – log35;

log565 + log510 – log526.

60

1.16. 1) 72 log7 5;

2)

(

5

)log5 16 ;

3)

101 lg5;

1

4)

1

4log3

2

;

5)

16

log

4

5

;

6)

3

log

9

2

;

7)

4,5

log4,5

9

15;

8)

6 4,5

log4,5 9

; 9)

3 6

log

6

4

;

10) 5log5 3 log2 8.

– В –

1.17. Вычислить.

3

83 250 25 2 (213)0;

2

42 18 27 3 320;

2

2

1

2

5

0

3) 0,001

2

5

;

3

( 3)

27 3

32

3

3

273 320 16 2 (252 )0;

5)

3

;

1

2

3

1

1

0

3

6

3

(5

)

4273

3

8192

8

6)

2

22 50

2

2

2

4,75;

(0,5)

5(2)

3

7)

4

;

5

1

2

12 (70 )3

16

4 (0,01) 2 16 2 5

64

3

8)

42

;

1

0

1

2

1

2

1

4

1

5

1287

32 5

16

4

16

32

61

9)

20

;

3

5

(25)

2 9 (70)3 1251 27 9 2 32

10)

36

;

1

2

3

1

1

0

7

6

3

(8

)

42733

8192

8

11)

3 4

2

3 (80)3 2 (0,125)

1

1

2

2739 27

3 ;

1

3

1

0

2

4

27

6

13)

(3,4 3 25

5

1,6

25

) 11;

53

6

(7,3 3 49

73

14)

7

0,3

49

) 11;

15)3812545 638 1210 616.

1.18. Найти значение выражения.

100 t 1 6t0,5 при t = 25;

10 t 0,5

25 d 1 4t 0,5 при d = 64; 5 d 0,5

16 p 1 10 p0,5 при р = 4;

4 p 0,5

49 d 1 6 p0,5 при d = 64. 7 d 0,5

Вычислить.

)log

5 log3 81 ;

2) 5log

4 2

3

5log25 (2

4)2

1.19. 1) (

2

2

5

3

;

3)2

3) 7log

2 log

3 log

10 ;

4)13log

3

2

11log121(

2

;

7

7

7

13

62

4log2 5 3 2log16 (3 5)4;

(13)log13 (27 102 ) (5)log5 (62 11) ;

(7 )log7 (21 123) (3)log3 (13 43 ) ;

1001–lg2 +3log9 25 49log1/ 4 0,5 .

1.20. 1) (2 log25 1,4log5 71) 132 log13 6 ;

(2 log4 2,5 log 2 5 4) 93log9 2 ;

(3 log8 15 log2 60 3) 74log49 2 ;

(6 log27 5 log3 75 3) 52 log25 7 ;

1

log7

4

5)

(2log9 2 log3 18 5) 72

;

6)

(log7 245 log49 25 1) 5log25 4;

1

7)

(5 log2 48 log2 3) 6log2 6 ;

log3

2

8)

(log3 108 2log9 5 2log3 2

5) 7 log3

7

;

9)

(2 log25 1,6 log5 8 3) 62 log6 3.

1

1

1

1

1

1.21. 1)

25log6 5 49log8 7 ;

2) (7 log13 7

5log14 5 )

3

;

1

1

1

1

1

3)

(121log4 11 49log3 7 )

2

;

4) (3log16 9

7 log9 49 )2 .

1

1.22.

1) (36) 3

;

log6

8 2 log6

3

1

log

9 log

6

7

7

2) (49 2

5 log 5 4 ) 72 ;

(25 2 log5 32 log5 6 3log 3 5 ) : 7;

(27 2log9 20 log3 5 7log 7 5 ) : 23;

(8 6 log8 15 log2 5 7log 7 5 )2 .

63

1.23. 1)

log2

4 log2

10

;

2)

log3 5 log3

7

;

log2 20 3log2 2

log3 35 log3 5

3)

log

5 2 log5

72

;

4)

log

7 8 log7

3

;

1

1

log5 2

log5 3

log7

2

log

7 3

2

log

11

3

1

log 5

5)

3

11

.

log11 9log1115

1.24. 1) 7log 7 2 log 7 3 log 7 10;

3log 3 4 log 3 2 log 3 20;

252log5 2 1 lg 25 2lg 0,5;

(log6 9 log6 4 2,7log2,7 3 )log5 7 ;

(log13 52 log13 4 7,8log7,8 5 )log6 5;

(log14 7 log14 2 3,5log3,5 6 )log7 3;

(log48 6 log48 8 2log 2 10 )log11 5;

(lg 2 lg 5 3log3 7 )log2 3;

(log12 3 log12 4 7log7 4 )log5 11.

1.25. Упростить и вычислить выражения.

1)

(a

log3 125

log9 25

blog27 3 )logab (2a 3b)3

при а = 0,5, b = 3;

log100 a

log100 b

2 logab (a b)

2)

(b

lg a

a

lgb

)

при а = 2, b = 0,01;

log4 n

log4 m

3)

(m

log2 n

n

log2 m

)2logmn 3 при т = 7,

т = 0,2;

log8 b

log8 a

4)

(a

log2 b

b

log2 a

)3logab 5 при а = 0,5,

b = 0,2;

log27 b

5) (a log3 b b log3 a )3logab 2 при а = 4,3, b = 7;

64

2(loga b loga 9):(3loga 2 loga 8b) при а = 7, b = 3;

7)

5

(logb 1(a 2) 2 loga 2 (b 1):(2 logb (a 1) logb (a 3))

приа=5,

b = 2.

1.26. Найти значения выражений.

1)

13 log96

(276

2)

4log57

(1257

3

3);

5

5);

7

log5

7

3)

22log277

3

(9 3);

4)

5log3 25 log5 81 5

;

((9 log32 5) log135 3 log3 5) 11log1119;

((1 log22 7) log14 2 log2 7) 5log5 24;

7)

log2 (1 tg2 x) log 2 (1 ctg2 x) 2log2 (sin 2x) при х = 14 ;

8)

3log3 (3 tg2 x) log3 (3 ctg2 x) 2log2 cos2 3x при х = /3.

Вычислить.

1.27. 1) 2log4 ( x 2

x 1

2) 5log25 ( x 2

x 1

2) при х = –0,81;

2)

5log25 ( x 4

x 2

2)

x 2

4log16 ( x 4

2) при х = 3,1;

3)

4log2 (6

x 5

) 36log6 (3 2

x 5

) прих=7;

25log5 (6 2

4)

x 1) 64log8 (3 4 x 1) при х = 2,1.

1.28. 1) log214 – log25 log53 log37;

log436 – log29 log913 log136;

log336 – log37 log75 log54;

log535 – log511 log119 log97;

log11187 – log1117 log1723 log2317.

1.29. 1)

log 2 24

log2 192

2)

log

3 45

log3

15

;

;

log96 2

log12 2

log5 3

log15 3

3)

log

2 96

log2 3

4)

log

3 216

log3 24

;

;

log12 2 log384 2

log72 3

log8 3

5)

log

5 250

log5 50

6)

log

3 36

log3

12

;

;

log 2 5

log10 5

log 4 3

log12 3

65

7)

log62 7

log

8 7

log6 7

;

8) log22 3

log5 3

log

2 3

;

log

8 6

log5 2

log42 6

log

6 2

9)

log3 7

log

7 5

log5 10;

log3 5 log

2 5

log22 6 log2 6 log2 3 2log22 3 . log2 6 2log2 3

1.30. 1) 3log5 7 7log5 3; 2) 11log3 5 5log3 11; 3) 5log9 7 7log9 5.

– С –

1.31. Упростить выражения.

(m n)2 4mn

2n

m

1) n y m n :

y m2 n

2;

(5a4 / 3 )3/ 2 (a3a2b )4 ; (5a4 )3 (4ab )6

7

5

2

4

1

3)

a 3

2a 3b 3 ab 3

: a 3

;

5

4

1

2

2

a

3

a

3

b

3

ab

3

a

3

b

1

1

)2 4a

m n

4)

(a

m

a

n

mn

;

2

2

)1 (m

n

(a

m

n

a

am 1

an 1

)

2

2

) (m

3n

(x

9x

x1 m

x1 n

)

5)

m

n

;

(x

m

3x

n

1

mn

1

)2 12x

m n

4

1

m

3

27m

3

n

n

3

6)

3

m

2

;

2

2

: 1 3

m

m3 33

mn 9n 3

66

p 3123

z p2 3 p : z 9 p2 z 3 p p2 ;

1

3

3

b

6

3

b

3

b

3

b

2

b

2

3a

3

ab

8)

a

a

a

:

(2a2 b2 ab) 6 a9b4

2a

2

b

2

ab

a b

1.32. Вычислить.

log 3 (2 3) log3 (5 26);

2 log4 (8(7 3)) log4 (10 221);

2 log4 (8(7 5) log 4 (12 235);

2 log3 (37 810) log 3 (42 5);

1

5) log

log

(38 6 33);

2

3

3

11

2

6)

log3 (5

7 )

log5 (32 10

7 )

;

1

2log25 9

log4 9

7)

log121(

23 1)

log

7(24 2

23)

;

1

7

2

5 2

log

8)

11log

2 log3

6

1 (

11

2

3).

9

3

1.33. Найти.

log2784, если log27 = а;

lg5, если lg64 = b;

log604, если lg5 = а и lg3 = b;

log830, если lg5 = а и lg3 = b;

lg56, если lg2 = а и log27 = b;

log3200, если log35 = а и log23 = b.

1.34. Определить.

1

1) а = log0,30,09 и blog1/ 3 11;

67

a 8 и b = 2;

a = log34 и b = log45;

a = logn(n + 1) и b = logn+1(n + 2), n 2;

1

log

3

5) a 2log7 3 5

6

и b 3log7 2 63

6 .

Показательные и логарифмические уравнения

– А –

Решить уравнения.

2.1. 1) 2x

1

;

2) 3x

3;

3) 4x

2

2;

8

1

x

5) 9x 273 3;

6) 6x

4)

625;

216;

5

7) 2x

1 x

9) 2x 1 5x 200;

512

2;

8)

64;

8

10) 3x 5 7;

11) 52x 1

1

;

12) 4x 81;

2

13) 17x2 1 1;

14) 3x 5

1

.

9

2.2. 1) 2

x2

4

x

;

2)

1 2x

9

x 1

3

;

1 x 3

3) 252x 4

;

4) 82 3x 43 x ;

5

1 x 1

5) (3 3)2x 4 9x 1;

6)

(64)3 x ;

4

7) (

2

1)3x (3 2

2

)x 2;

1

2x 1

8) (2 3)7 x

;

7 4 3

9) (52)3x 1(945)2 x ;

68

x

4

x 2

1

2x 1

x2 2

2 x

10) (9)

(27)

3 ;

11) 32 3х

.

27

2.3. 1) 3x 2 3x 216;

2)

5x 2 11 5x

180;

3)

3x 2 3x 1 3x

39;

4)

4x 1 22x 3 62;

5)

9x 1 32x 1 32x 3 33;

6)

52x 1 25x 1 126.

2.4. 1) 6x7x0;

5x 2 3 x 2 ;

23 x (3)3 x ;

6x 6x 1 2x 2x 1 2x 2;

5x 2 3 5x 1 3x 2 3x ;

4x 1 22x 1 9x 2 25 32x 1;

3

x 1

7) 33x 4 18 9 2

10 27x 42 x 3 2 24 x 1 16x ;

8) 2x 3 2x 1 9x 1 6 32x 1;

x 2

1 1 x

1 x

x 1

3x

9)

5

10

3252

8

3 42.

5

2.5. 1) log3x = –1;

2) log

2

(x 2) 4;

3)

log2 (x2 3) 0;

4) log1/ 2 (3 5x) 2;

5) log

5

(x2 9) 2;

6) log3

(x2 16) 6;

7)

log1/ 3 (x 1) 2;

8) log3 (x2 4x 12) 2;

3

9)

log

(x2 6x 2) 2;

10) log

(x2 5x 8) 4.

1/

6

sin

4

2.6. 1) log1/ 2 (5 log3 x) 2;

2) log3 (2 log1/ 3 x) 1;

3)

log3 (1 log2 (x 1)) 1;

4) log1/ 3 (2 log3 (x 1)) 1.

2.7. 1) log16 x log4 x log2 x 7;

2)

log4

x log

x log9 x 26;

3

3

69

log125 x 2log25 x 3log5 x 7;

log1/ 9 x 2log1/ 3 x log9 x 6;

4log3 x log1/ 3 x 2log 3 x 3.

2.8. 1) log4 log 2 log

5

x 0,5;

2)

log2 log3 lg x 0,5;

3)

log2 log3 log4 x 0;

4)

lg log2 (log3

x

1) 0;

5)

log2 log 22 (x 4) 0;

6)

log1/ 2 (5 log3 x) 2;

7)

log3 (2 log1/ 3 x) 1.

– В –

Решить уравнения.

2.9. 1)

5 x 1

9 x2 2x 11

5 9

;

3

25

3

3 x2 3x 2

16

x 3

4

2

2)

;

4

9

3

x 5

x 17

x 1

1

2x 1

3)32

x 7

0,25 128

x 3

;

4) 27

2x 5

9

x 2

;

81

x 10

x 5

x

25 x2 12

27 3

5) 16 x 10 0,5 8 x 5 ;

6)

(0,6)

.

9

125

2.10. 1)

2x 3

4x (0,125)1/ x

43

2;

x x x

((527 ) 4 3 )4 3 4 37 .x

2.11. 1) 3|3x 4| 92x 2 ;

2)

2|2 x 1| 64 x ;

1

3) 52|x 1|

5 125x 2 ;

4) 3 |5x 3| 8

log2

3

;

5) 2|3x 5|

4 8|x 1| ;

6) 5|2x 1| (

5

) 4x 3.

70

2.12.

1) 2x 3x 2 6x 3x ;

2) 2x 1 5x 2 0,2 101 x ;

1

x 2

3)

4x 3 5x 2 100

;

4) 2x 8 53x 102x 4 ;

20

5) 32x 3 33x 1 625x 2 600x 7 ;

6) 316 x 44 x 53x 5408 x.

x

4

1

x 2

2.13.

(5

x

2

(0,2)

x

2

)

x 4

125 (0,04)

x 4

.

2.14. 16 (

2

)x 4 22 23 ... 2x 1, х ℕ.

1) 73x 9 22x 52x

9 73x ;

x

1

x

3

2.15.

2) 9x 2

2 2

2 8 32 x ;

1

1

3) 5x

2

9x 32x 2 5x

2

;

4) 3x2 2 2x2 1 2x2 1 3x2 .

2.16.

1) 43(x 2) 7x2 5x 6 ;

2) 3x2 1 53x x2 2 ;

3) 52( x 3) 79 x2

.

 x2 x 1 2x 3 2.17. 1) (x 5) (x 5) ;

2.18. 1) 49 72x50 7x10;

52x 4 5x 5 0;

72x 6 7x 5 0;

3 52x 1 2 5x 1 0,2;

| x 3 |3x2 10x 3 1;

| x 2 |2x2 x 6 1.

2) 4x2x 148;

22x 14 2x 2 29;

4x 2x 1 80;

52x 1 575 5x 1 250 0;

9) 82 / x 2

2x 3

3 21

24 0;

x

12 0;

10) 4

2x 1

2x 1

11)

3x

81

10x

9

3 0;

12)

4х– 10 2х–1 = 24;

13)

16 2

х

1

14)

15 4х 4.

289х – 20 17х + 51 = 0.

15) 42/х – 5 41/х + 4 = 0;

16)

9x2 1 36 3x2 3 3 0 ;

4x x2 2 5 2x 1 x2 2 6;

(11 62)x 6(3 2 )x 7 0;

9 23x2 2 x 2 43x2 2 x 1.

71

2.19. 1) 2x 2 x

15

;

2)

3x 3 3 x 1 8 0;

4

3)

32 x 32 x 24;

4)

8 x 2 8x

;

7

2

5)

101 x2

101 x2

99;

6)

3

x

31

x

26

;

3

7)

3x 1 18 3 x 29;

8)

23x 3 5 6 23 3x 0;

9)

3 22 x 2x 1 5 0;

10) 2x 3x log3 2 62 x 3 0.

2.20. 1) (3 8 )x(3 8 )x6;

(4 15)x (4 15)x 62;

(35 24 )x (35 24 )x 10;

(52 7)x 6(52 7)x 7.

2.21.1)4х+36х–49х=0;

2)4х + 10х – 2 25х = 0;

3) 24х – 7 4х 3х–1 + 4 32х–1 = 0;

4)32х+3–306х+84х=0;

5) 3 16х+ 2 81х = 5 36х;

6) 8 9х +6х+1 = 27 4х;

7) 4–1/х + 6–1/х = 9–1/х;

8) 5 32х + 15 52х–1 = 8 15х;

9)

3

4x

2

9x (

2

3) 6x ;

10)

24х–310х=525х;

11)54х+2310х–1025х=0;

12)

49х+1312х–1216х=0.

2.22. 1) 22x2

2x2 2x 2 25 4 x ;

2) 32x2

2 3x2 x 6 32( x 6) 0.

2.23. 1) x2 22x 1 12x22x 1 1x2 2x 2 ;

x2 2x 1 2|x 3| 2 x2 2|x 3| 4 2x 1.

2.24. 1) 9x10 3x21 92 3x ;

4x 2x 3 8 3 2x 1 ;

2 4 3x 4 32 x 4 33x 34 x ;

72

7 2x 9 2x 5;

24 3x 2 9x 5 2 3x ;

11 25x 102 5x 1 2(3 5x 1).

2.25. 1) log3(1 + log3(2x – 7)) = 1;

2) log2(2 4x–2 –1) = 2x – 4;

3)

log3

3

x2

13x 28

2

log5 0,2.

9

2.26. 1) logx+1(x2 + 8x + 37) = 2;

logx+2x2 – x – 13 = 1;

logx+2(2x2 – 4x + 11) = 2;

4) log 1 10x223x142.

4 3x

2.27. 1) log2(3x2 – x – 4) = log2(1 – 3x);

log1/3(x2 + 4x – 3) = log1/3(3x – 1);

log (2x2 + x – 7) = log (2x + 3);

log9(x2 + 2x – 11) = log3(2x – 8);

log25(4x – x2 + 5) = log5(1 – 2x);

x

6) log5 (x 1) log5 x 1 .

2.28. 1) log2(x – 3) = log1/2(3x – 5);

log3(2x – 3) = log1/3(3 – x);

log2(x + 2) = log1/4(3x + 4);

log3x – 2log1/3x = 6.

2.29. 1) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3;

log2x + log2(x + 2) = 3;

log6(x + 1) + log6(2x + 1) = 1;

log3 x + log3(x – 2) = log3(2x – 3);

lg(x + 4) + lg(2x + 3) = lg(1 – 2x);

log2(x –1) + log2(x + 1) = 3.

2.30. 1) lg(x31)1 lg(x2 2x 1) lg 3;

2

73

2)

log2

x 2

1 log

2

3x 7

;

x 1

3x 1

3)

2log2

x

7

log

2

x 1

1;

x

1

x 1

log3 (5x 2) 2log3 3x 1 1 log3 4;

lg(3x 2) 2 1 lg(x 2) lg 50;

2

log2 182 2log2 5 x log 2 (11 x) 1;

lg(x3 8) 0,5lg(x2 4x 4) lg 7.

2.31. 1) log2(x + 2)2 + log2(x + 10)2 = 4log23;

log22 (x 1)2 5 log0,5 (x 1);

lg(3x 4)2 lg(2x 4)2 2;

2log3 (x 2) log3 (x 4)2 0;

25log322 (x 7)4 16log4 (x 7)2 96.

2.32. 1) lg2x – lgx – 2 = 0;

log52 x 2log5 x 0;

lg2 (2x 1) lg(x 0,5) lg 2;

(log2 x 2)log2 x 2log2 3;

7) log2

x log

(9x3 );

3

3

7

2.33. 1) log x 2log4 x0;

3) log3 xlog x 93;

2.34. 1) log9x xlog x 3;

3) log x 3 3log3x 7 3;

log22 x log2 16 2; x

log12/ 3 9x log3 x2 8; 27

8) log22 4x4 log4 x12.

log2 x log x 2 5 ; 2

4) 2log x 2 5 1log5 (x2).

2) log3x 5 2log x 1 2;

32

log3xlog3 x 1;

x

74

log3x2 (9x4 ) log x2 / 3 x2 0;

log1/ 2 x2 14log16x x3 80log4x x 0.

2.35. 1) || log5 x | 1| 1log25 x;

2) 1 | log 3 x 1| | log3 x 1|.

2.36. 1) 3 xlog2 9 5 3log2 x 2 0;

25 xlog7 25 24 5log7 x 1 0;

49 (x 1)log3 49 97 7log3 ( x 1) 2 0.

2.37. 1) log3x 7 (5x3)log5x 3 (3x7)2;

log1 2x (6x2 5x 1) log1 3x (4x2 4x 1) 2;

log3x 7 (9 12x 4x2 ) log2x 3 (6x2 23x 21) 4;

log3 4x2 (9 16x4 ) 2 log2 (31 4x2 ) .

2.38. 1)

log2

x

;

log2 x

64

1 2log9 x 4 log3 x 3;

log x 0,5x log0,5 x 1.

– C –

2.39.1) lg 2lg(4x 29)1lg(2x 21);

2) log3 (9x9)xlog1/ 3 (282 3x );

3)

log

(4x 6) log

5

(2x 2)2

2.

5

2.40. 1) xlog 2 x2 1 2x log2 x;

2)

log2 x log3 x log 2 x2 log3 x3 6;

75

3)

log3 x log4 x log3 x3 log 4 x4 12;

x

x3

1

4)

log3

log

2

x log3

log

2

x;

3

3

2

log3 x log5 x log5 25 log3 x2 2.

5x3

2.41. 1) lgsin xlg cos xlg 2;

log3 sin x log1/ 3 ( cos x) 1 ; 2

log2 sin 2x log1/ 2 cos x 1 ; 2

1 log3 (5cos2 x 3cos x 1) log3 (1 2cos x);

log2 (15sin2 x 7sin x) 1 log2 (3sin x 1).

2.42. 1) log x 2

cos x 2sin 3x

1

sin x

2log3

x 2

2 x

2 x

sin x

cos x

1

3 2x x

sin 3x

log

2 (3 2x x

)

2

3)

log x2 8x (sin 2x 1

3(cos x sin x)) log x2 8x ( cos 2x);

17

17

4)

log

7x x2 (1 sin 2x sin x cos x) log 7x x2 (cos 2x);

25

25

5)

log

2x

(1 sin x cos x) 1;

2 cos

4

1

6)

2 4x2

log

sin x

1

0.

sin x

2

2.43. 1) 3x 32 x 3(1 cos 2 x);

2) log2[x(1 x)]

sin

2;

x

76

2x 2 x 2cos x ; 3

4)

1 x2 2x

(x 1)

4

sin

;

3

4

5)

3 log14/ 2 (x2 x 1) 3 | cos( (x 1))cos 2x |;

6)

log3 (x

2

2x 10)

x

x

3 sin

cos

;

3

3

1

2

7) 2

x2 6x 11

.

sin

x

cos

x

12

12

2.44. Решить уравнения.

2 22cos x 3 2cos x 1 0;

3 32sin x 10 3sin x 3 0;

42 cos2 x 12 16cos 2 x 5 0;

43 2 cos 2x 2 7 16sin2 x.

2.45. Найти корни уравнения 4cos 2x 4cos2 x

3, лежащие на от-

резке [6; 3 ].

2.46. Решить уравнения.

1) (ctgx)2sinx = 1;

2)

(1 – sinx)cosx = 1;

3) 2|x 3|cos x

)x|cos x|;

4)

5 |2x 3|sin x

1 |x 1|sin x

(

2

.

5

2.47. 1) 7x

;

2)

3x 2

9

;

52 3x

3) 25 2x 3x 4;

4) 4x + 9x = 25x;

x

5) 8x + 18x = 2 27x;

6) 5x 0,5 2 7x 0,5 12 16x.

77

Показательные и логарифмические неравенства

– А –

Решить неравенства.

3.1. 1) 2х 8;

2) 3x

1

3)

1 x

;

4;

3

2

1

x

1

1

5) 4x

6) 9x 27;

4)

;

;

3

27

32

7) 5x

1

1

2x 5

1

2)3 5x 64;

;

8)

5

27

3

;

9) (

10) 32 x 2;

4 3x 1

27

3 2x 5

25

11)

;

12)

;

8

9

9

x 2

2 3x

1

2x 1

15) 32x 1 1;

13) 2 3 x

14)

4;

27;

3

16)

1 x

17)

3 5 2x

9

18) 5

x2

1

1

;

3;

;

3

2

4

1 4 х

x 5

2x 3

19)

27 ;

20)32

3

3 ;

21) (0,2) x 2 5 .

3

x

3 6x 10 x2

27

22) 2

> 5;

23)

;

4

64

24)

1 log3 (x2 2x 3)

1;

25)

3

log

( x2

3x 2)

3

;

2

2

1

x2

2 x

1

16 x

2

х2

26)

;

27)

х 24

;

(6,25)

3

9

5

1

2 x 1

1 3

16 x 0,125 ;

1 x

28)

29)

.

5

5

78

3.2. 1) log2 x 4;

2)

log1/ 3 (x 1) 2;

3)

log3 x 1;

4)

log1/ 5 (3 x) 0;

5)

log4 x

1

;

6)

log1/ 7 (3 2x) 1;

2

7)

log5 (x2 2x 3 1;

8)

log1/ 2 (x2 9) 4;

9)

log3 (2x2 x 9) 3;

10)

log1/ 3 (7x x2 1) 2;

11)

log3 (6x 5) 1;

12)

log1/ 7 (5x 3 2;

13)

log2 (x2 2x) 3;

14)

log1/ 6 (x2 3x 2) 1;

15)

log3

2x 1

1;

16)

log1/ 4

x 3

1

;

x 1

x 3

2

17)

lg(x2 2x 2) 0 ;

18)

log 5 (x2 11x 43) 2 ;

19)

2 log 2 (x2 3x) 0 ;

20)

log4

3x 2

0,5 ;

x

21)

log2

x2 4x 2

1;

22)

log8 (x2 4x 3) 1;

x 1

23)

log1/ 3

2 3x

1;

24)

35 x2

1

log0,25

.

x

x

– B –

1

1

3.3. 1)

x 1

x 2

2

;

16

2x2 6x 0,5 (162) 1;

5) 2x2 4 х8;

7) (0,25)2 5x 14 25x 1 ;

3.4. 1) log1/ 3 (log 4 (x25))0;

1

1

2)

x 2

x 3

5

;

25

317x 2x2 1 (3 33) 6 ;

6) 3x2 9 2x(93)2;

1

1

1

2 3x

8)

2 3x

9

.

9

3

x2 x

2)

log

1/ 6

log

6

0;

x 4

79

x

1

2

x

3) log

2

log

1/ 3

1;

4) log

log

1/ 3

1.

5

4

1/ 2

9

3

3.5. 1) log3 x 2log

x log1/ 3 х 6;

3

log1/ 5 x log25 x log1/ 25 9;

log1/ 2 x log16 x log1/ 4 x 2,5.

3.6. 1) 42x 4x 6;

2)

1

2x

1

x

4

28

40 0;

2

2

3) 52x 3 2 5x 2 3;

4) 92 x2 5x 32x2 5x 1 4 0;

5) 4x 2x 1 8 0;

6)

1 x

1 x

2

3;

9

3

7) 52

x

5 5

x

1 5

x

;

8) 52x 1 5x 4;

9)

9x 2 3x 3 0;

10) 3 4x 7 2x 1 5 0;

11) 4x 7 2x 12 0;

12) 22x 13 2x 2

3

;

13) 491/ x 343 342 71/ x.

4

3.7. 1) 2x 2 x 3;

2)

(0,1)x 1 0,8 2 10x ;

3)

3x 2 31 x ;

4)

3 2

x 1

23

x 1

25;

5)

2 7

2x 5

71

2x 5

13.

3.8. 1) 8 9x6x 127 4x ;

3 16x 2 81x 5 36x ;

63 9x 370 21x 147 49x 0;

5 4x 7 10x 2 25x 0;

32x 1 4 21x 1 72x 1 0.

3.9. 1)

1

1

;

2) 2

3

6

;

3x 5 3x 1

1

2x 1 2x

80

3)

6

2x ;

4) 21 x 2x 1 0;

2x 1

5)

7

2

.

9x 2

3x 1

3.10. 1) (20x – 25x2 – 3)(log35x)0;

(9x2 – 9x + 2)(log23x) 0;

(x2 – 7x + 10)(5x – 25) 0;

4)

9 x2

0;

log3 (x 1)

x

x

6)

xlog8

1

3log

2

1 ;

5

5

(lg x 1)(x2 11x 10) 0; (2x 2)2

(5 7x )log3 x 0;

2 10x 9

10)

xlog

x

x

3

2

8log1/ 9

2

.

3

3

3.11. 1)

5х 1

1;

2 5x

4

log5 (x2 3) 0; 4x2 16x

(2x 1)3 (5 x)2 0;

2x 1

2) 9 x3x 23x9 ;

3)

2 2x 3 3 2x 7;

4)

4x 2x 3 8 3 2x 1 ;

5)

2x 3

2x 1 1

3 2x 2;

6)

log5 x 3

9 log5 x

;

7)

4(lg x) 24

9 lg x;

4x 5.

8)

4x 1 8

3.12. 1) log5 (x22x3)log5 (x1);

log1/ 3 (3x 5) log1/ 3 (x2 1);

log3 (x2 3x 4) log3 ( x2 6x 11);

log1/ 2 (x2 3x 2) log1/ 2 (6 x2 4x);

81

log0,1(x2 x 2) log0,1(x 3) ;

log1/ 2 (x 1) log2 (2 x);

log4 (x 7) log4 (3x 5);

8) log 1

x2 6x

9

log2

(x 1) .

2(x 1)

2

3.13. 1) lg2 x3lg x40 ;

log02,5 x log0,5 x 2 0 ;

a) lg 2 x3 2 lg x5 2 log 3 3 0 ; б) lg2 x3 2lg x5 2log3 3 0 .

а) log32 3x log3 x 3log3 5 ;

б) log32 3xlog3 x3log3 5;

lg2 (2x 1) lg(x 0,5) lg 2 ;

lg(x 1) lg(x 2) lg(x 2) ;

log2 (2 x) log 1 (x 1) log 2 3;

2

1 log2 (x 2) log2 (x2 3x 2) ;

log7 x log7 (2x 5) log7 2 log7 (x 3) ;

log 1 (x 1) log 1 (x 1) log3 (5 x) 1.

3

1

log4 x log4 4 x 2 ;

log 2 x2 log 2 (x 1)2 2 .

3.14.

1 log4

x

1

1

2lg x 5

1)

;

2)

;

1 log2 x

2

1 lg x

1 lg x

3)

log2 x

2

;

4)

lg(x2 ) 2

1

.

(log2 x) 2

(log2 x) 6

4 3lg(x4 )

2

82

3

2

1

3.15.

1)

1

0;

3 x) 1

x

3 x) 1

(log

log3

(log

27

3

2

1

2)

log2 2x

log2 4x

(log2

x) 1

1 0 .

3.16.

1)

log0,2 (x 2)2 2

4log5 | x 2 | 8;

2) log0,25 (x 3)2 2 16log4 | x 3 | 12 0.

3.17.

1)

log3

3

log5 x log5 45log3 x 1 2log5 3;

x

log3 16 log4 x log4 24log3 x 2log3 24. x

3.18. 1) logx9 < 2;

2)

logx

1 2x

15

2 ;

3) log1 – x(2 + x) < 1;

4) log2 – x(5x – 4 – x2) 2;

5)

log 2x 3 x2

1;

6)

3

;

log x 1

2

6 2х

7)

2x

log x 2 4

2;

3

8) log( x–3)(2(x2 – 10x +24)log(x–3)(x2 – 9);

5x7

9) log x 11 .

3.19. 1) (3 + x – 2x2)logx+2(3x + 5)0;

3.20. 1 + log0,5(8 – x) < log[(x+1)(x–2)](x2 – x – 2).

1

1

1

1

3.21. 1) x logx

3

27x4 ;

2) x logx

33 9;

3) x

2 log3

x

2.

2

83

3.22. 1) (x 3)log2 (3x 1) (x 1)(x 1)

3

(x 1)(x 2)

| log2

(3x 1) |

;

x 3

(x 1)(x 2)log x2

2

x2

3x 1 log|x|

2

2)

x2

.

| x 2 |

x 2

3.23. 1) log2(5x + 1) 7 – x;

2) log1/3(3 – 2x) –(8 + 2x);

3) log3(2x – 3) < 4 – 2x.

3.24. 1) 4x23 x 1x 3 x2x2 3 x2x6;

2) 4x82x24(x2x) 2xx2x2 2x 1.

4. Системы показательных и логарифмических уравнений

– А –

4.1. Решить системы уравнений.

x

2

2 y

65,

1)

3

x / 2

2

5;

y

3

x

6

150,

3)

5

x

y

5

180;

6

1

5)2 log 2 x log 4 y 0,

x

2

5y

2

4 0;

1 log7 y

7) x

49x,

log

7

y log

7

x 1;

x

2

2 y

77,

2)

3

x / 2

y

3

2

7;

2

x

4)

y

4

8,

2

x 1

y 1 0;

x2 2xy

6)

3

1,

(5x 1);

2log

3

( y 2) log

3

2log25 x log5 у 1,

6x y 1;

84

log

x

y log

y

x 2,

log

3 x log3 y 1 log3 2,

9)

10)

2

y 12;

log

25

(x y) 0,5.

x

– В –

4.2. Решить системы уравнений.

1)

x y log

2

3 1 2log

2

3,

log y x 2,

2x 3y 11;

x2

2)

y2 272;

3)

4

x y

128,

x

4) 7

16 y 0,

53x 2 y 3 1;

4x

49 y 0;

5)

log y x log x y 2,5,

6)

lg x lg y 2,

xy 27;

x y 15;

y

log 2 x 4,

x y

2;

7)

4

8)

y2 x

x 2 2 y

log

4;

x2 y

2

2

4

.

2

– С –

Решить системы уравнений.

4.3. 1)

2

x 2

y 0,

2) y x

3

1,

| x 4 | y 1;

y log

2

(4 x) 1.

5|x2 2x 8| log5 9 3 y 4;

4.4. 1)

3 | y1| 2 | y | ( y1)28;

7|x2 3x 28| log7 4 2y 6 ;

2)

| y3 || y1| (y2)26.

85

64x3

4.5. 1)

3x 2log

log

4x

5

ctgx ctg( y 5);

2log9 3

y

4log

6x

27

2)

6

y 8

ctg4x tg

.

1

log1

y5

5

4x

(4x) 25

5

,

6x2

2log

3х,

6x

log

x2 y

4.6. Решить систему уравнений

log

y x

2

(xy)log 4 (xy),

( yx)log y x2 (2x).

ответе записать величину х + у.

Уравнения и неравенства

параметрами

– В –

Решить уравнения при каждом значении параметра.

5.1. 1) (2х + 2а – 1)(а + 1 – 2х) = 0;

(2–х + 3с + 4)(5 – с – 2–х) = 0;

(3+2а–3х)(3х–3а+4)=0.

5.2. 1) 16–х – 4b 4–x = 7b + 6;

alg2(x2 + 10) + lg(x2 + 10) + 8a + 1 = 0;

a 25x2 1 5x2 1 15a 1 0;

9 |x 2| 4 3 |x 2| a 0;

4sinx – a – 3 = (a + 2) 2sinx;

6)

1 cos x

c 4 (2c 6) 3

cos x

4

.

9

86

 5.3. Найти все значения параметров, при которых уравнения имеют хотя бы одно решение.

(а–3)4х–86х+(а+3)9х=0;

(а + 1)(а + 2) 24х – (16а + 32) 2х2 = 0;

(а2 – 4) 3–2х + (а2 – 3а + 2) 3х2 = 0.

 5.4. Найти все значения параметров, при которых уравнения имеют единственное решение.

x 3

(c 2) 3 x (1 c)(2c 1) 0;

1)279 2

(х + а)(log2(x – 1) + 1) = 0;

2 9x (a 16) 3x a2 8a 0.

 5.5. Найти все значения параметра р, при которых уравнение p log22 x ( p 3)log 2 x 1 0 имеет решение на полуоси х > 1.

5.6. Решить уравнения при каждом значении параметра.

1)

32 x 6 3x a

2)

2x 3 2x 7

0;

2a 10

3x 4

2x 1 2x 1

4x 1

3)

3x 5

3x 7

2b

;

3x 3

3x 1

9x 2 3x 3

4x 2a 2x a2 4 0.

2 5x 6

 5.7. Для любого допустимого х найти у, удовлетворяющий уравнению.

1)

2x2 3x log2 y 2log 22 y 0;

2)

log|x| (x( y2 2 y 2)) 1;

3)

log x y log y

x

10

;

3

4)

log x (x y) log y (x y) 0;

x

y

5)

log

x

log

y

0.

y

x

87

Решить уравнения при каждом значении параметра.

5.8. 1) (log3

(x 5) 2)

x 3a

0;

(log3 (x 15) 2) x 2b 0;

b 3x

(lg2 (x 1) lg(x 1)3 2) x a 0;

(log32 (x 6) 6log 3 x 6 8) x c 3 0.

5.9. 1) log4 (x5)log0,25 (| ax | 3);

log3 (6 x) 2log9 (3 | b x |);

logd (4x d ) logd (x2 4);

log3 (31 | x2 6x 5 |) c;

| 49 x 4 7 x 5 | a.

 5.10. Найти наименьшее значение р, при котором уравнение log3(х2 + pх + 3) = 2 имеет решение на отрезке [1; 3].

5.11. Найти значения параметра р, при которых расстояние ме-

жду решениями уравнения x2 x log2

p 2

log

2 p log2 ( p 2) 0

p

больше 3.

 5.12. Изобразить на плоскости множество точек А (х; у), коор-динаты которых удовлетворяют уравнениям.

log x (4x 2 y y2 ) log xy (x2 y2 );

log xy ((x 1)2 2 | y |) log xy (1 y2 );

log y x 7 (x 6 y) log y x 7 (y2 7);

4) log |x| (5xy x2 y y2 x) log x

6(5 x y).

y

y

5.13. Решить неравенства при каждом значении параметра а.

88

1) (a6) 2 x 3a2;2) (a5)(2a3) 4 x 2.

5.14. Решить неравенства при каждом значении параметра.

x lg2 (x a)

2

x a

1)

0;

2)

( x

5x 6)

0;

x 4

log3 (x 2)

3)

(x 1)log32 (x a)

0;

4)

x2

log1/3 (x a) 0;

x 2

x 4

5)

(x 2)(x 3)log32 (2x b) 0.

 5.15. Найти значения параметра, при которых неравенства вы-полняются при всех х ℝ.

a 9x (1 a) 3x 7 a 1 0; 4

c 5 x (5c 3) 5x c 1 0;

2(a 1)x2 2a 4

3)

log

3a 6

0;

2

2

x

1

(4a 5)x2 2x 4a 5

4)

log

1;

2

9 4a

16

2(x

1)

5)

log b 1 (x2 3) 1;

b 2

6)

log 1

(2 | x | 6) 1.

a(a 1)

2

 5.16. Изобразить на плоскости множество точек А (х; у), коор-динаты которых удовлетворяют неравенствам. В ответе указать площадь полученной области.

log|x| | y| (x2 y2 ) log|x| |y| (2x);

log xy 1 | x y 3| logx x2 log y y.

 5.17. Найти значение параметра р, при котором число х = 1 яв-ляется решением уравнения

89

3log xp 4 ( p2x)log p 2x ( p 4x)2log4 p 5x (xp 5)2.

В ответе записать наименьшее целое значение р.

 5.18. Найти значение параметра р, при котором число х = 2 яв-ляется решением неравенства

log| p| ( px3)log p2 (x38x27p) .

В ответе записать наименьшее целое значение р.

5.19. Найти значение у, при которых неравенство

y log 22 x4y log2 xy270

выполняется при всех х > 0. В ответе записать наименьшее воз-можное значение у.

5.20. Совокупность точек А (х; у), координаты которых удов-

log2 xlog2 (2x3y),

летворяют системе неравенствlog3 (x 2 y) log3 (3 y), образу-x p,

ют область на плоскости. Найти площадь этой области в зависи-мости от р.

 5.21. Числа х и у удовлетворяют неравенству х2 + у2 1. Найти наибольшее возможное при этом значение выражения f(x,y) = = log2|x + y|.

 5.22. Числа х и у удовлетворяют неравенству х + у 18. Найти наибольшее возможное при этом значение выражения f(x,y) = = log3x + log3y.

 5.23. Найти значение параметра, при котором неравенство вы-полняется для всех х ℝ.

log3(x2 + 1) + log3 6 log1/3 (2bx2 x 2b);

1+ log53 – log1/5 (x2 1) log5 (3cx2 4x 3c).

 5.24. Решить системы уравнений при всех значениях парамет-ра а.

90

1

x

6

11cos y c,

x

5 7

y

d,

1)

6 5

2)

2

7 5 x

6 7

y 10;

1

x

2 cos y 1.

2

 5.25. Найти значение параметра, при котором системы уравне-ний не имеют решений.

1)

2 3x (9a2 2)log7 ( y 3) 3a,

(y 3) 1;

3x log

7

(a2

1

y

2log

5 x

2)

6a 2,

2)

1 y

2

log5

x

5.

2

 5.26. Найти значение параметра, при котором системы уравне-ний имеют единственное решение.

x

log2 ( y 2) a 1,

y

log5

(2x 4) a,

1)

3 2

2)

5

log

( y 2)2

1;

(2x 4) 2.

2x

2

2 5y log

5

 5.27. Найти значение параметра, при котором уравнения име-ют единственное решение.

1) logcx 7

1 ;

2) logkx 7

1

8x x2 15

6x x2 8

;

2

log1/ 9 (x2 x 12) log9 (kx 37) ;

1

1 log1/ 2 kx 5 2 log2 (4 x) 0.

5.28. Найти значение параметра, при котором уравнение:

(b – x + 2)(log3(6 – x) + 1) = 0 имеет два различных решения;

lg(x |x – 2|) = lg х а имеет три различных решения;

2

log2(x2 + |x| – 2) = log2 х а имеет два различных решения.

2

91

 5.29. Найти все значения параметра а, при которых неравенст-во 56 3х > 9x – a не имеет ни одного целочисленного решения.

 5.30. Найти все значения параметра b, при которых наименьшее значение функции

= log2(1 + 3sin2x)[log2(1 + 3sin2x) – b – 1] – b2 + 3b + 7

равно 2.

 5.31. Найти все значения параметра d, при которых наименьшее значение функции

1

8

1

8

y log

cos2 x

log

cos2 x

d 3 d2

d 11

1/ 3

9

81

1/ 9

9

81

не меньше (–1).

5.32. Решить неравенство logpx > logxp для всех значений р.

5.33. При каких значениях параметра р уравнение

x

px

log

2 sin

log3

cos

0

2

1 x2

1 x

имеет решение? Найти это решение.

5.34. Пусть х – решение неравенства

1

log2 (sin( px)cos( px)).

Для каждого целого р > 2 найти максимальное значение величины f(x) = x(2 – x).

 5.35. Для каждого допустимого р найти область значений функции f(x) = logp(x2 – 2px + p2(1 + 2p–1)).

 5.36. Найти наибольшее значение х, удовлетворяющее неравен-ству у2log2(x + 1) + 2ylog2(x + 1) + log4(x + 3) 0 при всех у.

92

Построение графиков

– А –

Построить графики функций.

6.1. 1) у = 2х;

2) у = 2–x;

3) у = 2х–5;

4)у=2х–5;

5)у=2х+1+3;

6)у=5–2х.

1 x

1

x

1 x 4

6.2. 1) y

;

2) y

;

3)

y

;

3

3

3

1 x

1 x 4

1 x 2

4) y

2;

5)

y

1;

6)

y 4

.

3

3

3

6.3. 1) y = log3x;

2) y = log3(–x);

3) y = log3(x – 3);

4) y = log3(x) – 3;

5) y = log3(x + 2) +1;

6) y = 3 –log3(x – 1).

6.4. 1) y log 1 x;

2)

y log 1 ( x);

2

2

3)

y log 1 (x 4);

4)

4;

y log

1

x

2

2

5)

y log 1 (x 2) 3;

6)

y 2 log 1 (x 4).

2

2

6.5. Построить графики функций и уравнений.

1)

y 2|x| 1;

2)

y 2|x 2|;

3)

| y | 2|x| 1;

4)

y 2cos x ;

1 sin2 x

6) |y + 2| = 2

x

5)

y

;

– 4.

2

6.6. Найти области определения функций.

1) f (x) 0,5x 30,5;2) f (x) 52x 31;

93

x2

x

1,5 0,3x

1

3) f (x) 1 6

36

.

4)

f (x) ln

9

.

27

f (x) x 3 log2 (x2 8).

x 2

6.7. Найти область значений функций.

y 2sin x ;

1 1 x2

y 16x

2

x ;

1)

2)

y

;

3)

3

1 cos2 x

x2

1

1

6x x2

4)

y

;

5)

y (4)

2 ;

6)

y

.

2

3 3

6.8. Найти области значений функций.

1)

y log 2 (x2 16);

2)

y log1/ 2 (16 x2 );

3)

y log3 (cos2 x);

4)

y 3 2x2

;

5)

y 4 log3 (x2 6x 18).

6.9. Найти области значений функций.

1)

g(x) log 1 (4 x2 );

2) g(x) = 2x + 2–x;

4

3)

g(x) 3

1 x2

;

4) g(x) 3

3 x

3

x 1

;

2

5)

g(x) log

30

4 log4

x

0,25

2

;

24

6)

g(x) log

0,5

.

11

1 | ln x |

6.10. Найти количество целых чисел, принадлежащих области

sin x cos x 3

.

значений функции g(x) 16log 1

2

2

16

94

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ, ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ, СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Область определения функции

– А –

Найти область определения функции.

1.1.1) у 23х;

3) у 23х5х2;

х 3

у x 1 8 2x x2 ;

у | x 2 | 3 ;

9) у| х1|| x2 | ;

x3

1.2. 1) y = tg3x;2) y = ctg

y 1 ; cos x

2)

у

1 х

;

2х 2

4)

у

(x 2)(3 х)

;

x 1

у x 2 х 1 ;

x 3

8) у

х 1

4 ;

x 2

у 6 х x2 .

| x 1|

х

;

3) y = tg(2x – 3);

2

1

5)

y

;

2x

sin

3

6) y

1

;

sin x cos x

y sin 2x 1; 1 x

y cos 1 ; x

1

9) y cos

.

2 | x

3 |

1.3. 1) у = arcsin(3x + 2);2) y = arcсos(3 – x2);

95

x

1

3)

y

arccos

5

;

4)

y arcsin

;

2

x

2

3

3 x

5)

y

arccos x

;

6)

y arcsin

;

4

2x 1

x 1

7)

y arccos

.

2x 1

1.4. 1) y

1

;

2) y

3 ;

3) y

x 2

.

2x 4

1

3x

16 x 8

9

1.5. 1) y = log2(3 – 2x);

2) y = log1/3(5x – 2);

3) y = log4(x2 – 3);

4) y = log1/2(3x + 1);

2

x 1

5) y = log3(4 – x

);

6)

y lg

;

7) y = log1/3(2x – 8);

8) y = logx – 35;

x 1

9)

y

1

;

10)

y

1

.

log5 (5 x2 )

log1/ 75 (3x 5)

– В –

 1.6. Сколько целых чисел принадлежит области определения функции.

x 1

arccos

x 3

1)

у arcsin

;

2)

y

x 1

;

5 х

3 x

3)

y log10

(

3) ;

4)

y log3 (sin(arcsin(2x 3)));

x

x 2

x

log2

1 sin

2

5)

y

.

32xx2

 1.7. Заданы функции f(х) и g(х). Найти область определения функций при: а) f(х) g(х); б) f(х) : g(х); в) f(g(х)); г) g(f(х)).

96

1)

f (x)

x 1

, g(x) = x2 – 3;

2)

f (x)

x 1

, g(x) =

x2 1

;

x 2

f (x) x 1 8 x , g(x) 1 ; x

1

4)

f (x)

, g(x) x 2 1 x ;

x |

x |

5)

f (x)

1

, g(x)

x 1

.

| x | | x 4 | 4

1.8. Найти все значения х, для которых число x2 не принадле-

жит области определения функции:

x 1

1)

y log 2

x 1

;

2) y arcsin(2x 3);

x 3

3) y

arccos(x 2)

;

4) y log4 (| x 2 | | x 4 | 6);

log3 (x 3)

5)

y

x 2

log 2 | x 1| .

 1.9. Область определения функции у = f(х) совпадает с промежут-ком (–1; 2]. Найти область определении функций.

y f (2x 3) ;

1

x

1)

2)

y f

;

1

x

3)

y f (| x 1|);

4)

y f (2sin x) ;

1

1

5)

y f

| x 1|

| x 3 | 1 .

2

2

 1.10. На координатной плоскости изобразить множество точек (х, у) для которых существует число и, равное:

1) u

x y

;

2) u

3) u log x 1(x y2 );

x | xy |;

x y

97

4) u = arcsin(x2 + y2 – 3);

5) u

arccos(xy)

.

x | x |

– С –

1.11. При каких значениях параметра а число 3 не принадлежит

ax2

(a 1)x 9

области определения функции

y

tg( x a) ?

| ax 6 |

 1.12. При каких значениях параметра а область определения функции y loga x (ax a 2) содержит отрезок [1; 2]?

1.13. При каких значениях параметра а

1

функция f (x)

,

g(x) 1

где g(x)

(2a 3)x2

2(2 a)x (2a 3)

определена для всех х?

(2a)(x2 1)

 1.14. Функция у = f(x) имеет отрезок [9; 10] своей областью опре-деления. При каком значении а областью определения функции у

f(ax + + 2 – 9a) является отрезок [2; 5]?

Область значений функции

– А –

Определить область значений функций.

2.1. 1) у = 25 – x2;

2)

y

25 x2;

3)

y 3

25 x2;

4) у = 4х – x2;

5)

y

4x x2;

6)

y 5

4x x2;

7) у = – x2 – 10x – 16;

8) y

x2 10x 16;

9) y2 x210x 16.

98

2.2. 1) y = 2 – 3sinx;

2) y = 2cos3x – 5;

3)

y

1

5

sin 2x;

4) y = 4cosx – 3;

2

2

5)

y 2

cos x

5;

6) y = –2 – 7|sin3x|;

2

7) y = cos22x + 4;

8) y 3 2sin 2

x

;

3

y 5 3 cos x. 2 2

2.3. 1) y = arctg2x;

y = 4 – arccos3x;

y = 2 – 6arccos3x;

3

2.4. 1) y = cosx, где x ; ; 3 2

5

2) y = sinx, где x6 ; 6 ;

3

3) y = cosx, где x2 ; 2 ;

7

4) y = sinx, где x3 ; 6 ;

y = cos2x, где x 6 ; ;

y = sinx, где x6 ; .

2.5. 1) y = sinx – sin2x;

y 3 2arcsin x; 2

y 4 arcsin x 3 ; 3

6) y =– 2arctgx.

y = 2cos2x + cosx;

y = sinx + cosx;

99

5)

y sin x

cos x;

6) y sin x

1

cos x;

3

3

7)

y = 5sinx + 12cosx;

8) y = 3cosx – 4sinx;

9)

y

1

;

10)

y

1

.

sin x

cos2 x

2.6. 1) y x

1

;

2) y 4x

1

;

x

x

3)

y 4x

1

;

4) y x2

1

;

5)

y (x 2)2

;

36x

1

6)

y sin x

;

x2

1

9(x 2)2

sin x

7)

y 5

1

x2

;

8)

y 6

1

4sin2 x.

x2

sin2

2.7. 1) y = 2

x

2) y 2

x2

1 x2

;

;

3)

y

;

3

4)

y 3

x2 2

;

1 x2 1

6) y 2

x2 4x

;

5) y

;

3

1 x2 2x

1 x

2

1

x x2

7)

y

;

8) y 4

;

9)

y

;

3

81

1

1

1

x2

1 |1 x|

x

x2

10)

y 4

;

11)

y 2

x ;

12)

y

;

3

13)

y 2sin x ;

14)

y

1

sin 2 x

15)

y 42 cos 2x ;

;

3

16)

y

1

3sin 2 x

17)

y

1

2 |2x 3|

;

.

4

2

2.8. 1) y = log2(4 + x2);

2) y = log3(9 – x2);

100

2

1

3) y = log1/3(3 + 2x );

4) y log1/ 4

x

;

x

5)

y 3 log5 (x2 10x 50);

6) y log1/ 8 (2 3x );

7)

y log32 (x2 4x 13).

– B –

2.9. 1) y

x 1

;

2)у=х2–2х+3;

3

y 3 4x 7x2;

y 3sin(2x 3) 4cos(2x 3 );

6) y 3 2 4 x2 ;

5)

y 5 3sin 2 x

3

;

6

7)

y

cos x 2

;

8) y = cos2x + cosx;

3 cos x

9) y tg2

1 x2 ;

10)

y x2

1 x2 .

3

2.10. Сколько целых значений принимает функция.

1)

y 12 log 2 (5 6sin x cos x) ;

2)

;

y

4

16x2 64x 65

2

36x

2

2

2

3) y 12sin

4)

y arccos

(3 2x x

;

);

6

5) y418 | x1|| x3 |.

2.11. Функция y = f(x) имеет отрезок [-2; 3] областью определения.

Найти область значений функций.

1) y = f(2x – 3);

2) y = 2f(x) – 3;

3) y = |2f(x) – 3|;

4) y = f2(3x – 2);

5) y

.

f (log 2 x)

101

 2.12. Заданы две функции y = f(x) и y = g(x). Найти область значений функций: а) y f (x); б) y g 2 (x); в) y f (g(x)); г) y = g(f(x)).

f (x) 4 x2 , g(x) x 1 ;

x2

1

2) f(x) = 1 – x2,g(x) =;

3) f(x) = sinx, g(x) = arccos(2x – 3);

4) f(x) = |x + 2| – |x – 3|, g(x) = 4 – x2.

2.13. Пусть

f (x) x

1

. Найти область значений функции у =

x

= f(g(x)) для функций:

1) g(x)

4x

1;

2)

g(x)

sin x cos x

5

;

3

1 x2

2

3) g(x) = |x + 1| + 2;

4) g(x) = f(x);

5) g(x)

1

arccos(x 1)2.

– C –

2.14. При каких значениях параметра а область определения

функцииf (x) (a 2)x (a 6) совпадает с множеством ее зна-(2a 3)x 3a 4

чений?

 При каких значениях параметра а число А = 0 принадлежит области значений функции f(x) = ax2 – (a + 1)x + a + 1?

2.16. При каких значениях параметра а область значений функ-

ax 1

ции f (x)

не содержит хотя бы одно из чисел А = 2 и

(a 1)x a

В=3?

102

 2.17. При каких значениях параметра а область значений функ-ции f(x) = ax2 + (2a – 3)x + 4a содержит полуось (0; + )?

2.18.

Для всех значений а найти область значений функции

f (x)

(a 1)x

x2 (a 1)2

3. Четность и нечетность функции

3.1. Среди предложенных функций выбрать нечетные.

1)

y sin

x

;

2) y

x 1

;

x2 1

3)

y log2

x 1

;

4) у = хsin2x.

x 1

3.2. Среди предложенных функций выбрать четные.

1) y = sin(|x|);2) y = sin|x + |;

3) y = arccos2x;4) y = x arctg2x.

 3.3. Какое из предложенных множеств Е может быть областью значений нечетной функции?

1)

Е=(0;+ );

2) E = [–1; 1];

E = [–3; 2] [2; 3];

Е

1

3)

4)

;2 .

2

 3.4. При каких значениях параметра а множество Da может быть областью определения четной функции?

1) Da = [2a – 3; 2 – a];2) Da = [sina; cosa].

3.5. При каких значениях параметра а функции нечетные.

1)у=ах+а–2;

y

(a2

a 2)x a 1

2)

;

axa2

103

y ax cos a .

2 1

3.6. При каких значениях параметра а функции четные?

1) у = ах2 + (а – 3)х + а2;2) у = |ax + a2 – 1|;

3) y = cos(x + 2a).

 3.7. Пусть f(x) – нечетная, а g(x) – четная функции, определенные для всех х. Укажите, какие из следующих функций четные, нечет-ные или общего вида.

1) f 2(x);2) f(x)g(x);3) g(f(x));

4) f(x) + g(x);5) f(g(x)).

 3.8. Пусть f(x) и g(x) – нечетные функции, определенные на всей оси. Укажите, какие из функций четные, нечетные, общего вида?

1) f(x) + g(x);2) f(x) g(x);3) f(g(x));

4) g(x)| f(x)|;5) g2(x) f(x).

 3.9. Доказать, что для любой функции f(х), определенной для всех х, функция g1(x) = f(x) + f(–x) – четная, g2(x) = f(x) – f(–x) – нечетная.

– В –

 3.10. Пусть f(х) – нечетная функция, определенная на всей оси. При каких значениях параметра а приведенные функции являются нечет-ными? В ответе указать сумму таких а.

y af (ax a2 a 7) ;

y af (a2 x) a 8 | a |;

2

3

3)

y af (x) a

x

a | a | | a

2

2

1|)x.

 3.11. Пусть f(х) – четная функция, определенная на всей оси. При каких значениях параметра а приведенные функции являются четны-ми? В ответе указать сумму таких а.

104

y f (x2 (a2 2a 6)x 3) ;

у = f (ах + (а + 2)(а – 3));

у = f ((1 – 3а + 5а2)sinx + acosx).

 3.12. Доказать, что если х = 0 принадлежит области определения нечетной функции f(х), то f(0) = 0.

 3.13. Доказать, что любая функция f(х), определенная для всех х, может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функ-ций.

– С –

3.14. При каких значениях параметра а уравнение х4 + log2(2a+2 – 12) = a – |x|

имеет единственное решение?

3.15. При каких значениях параметра а уравнение

arcsinx =

имеет два решения?

xa | x |

x

Периодичность

– А –

4.1. Найти наименьший положительный период Т > 0 функции.

1) y = sin2x;

2) y = cos(3x + 2);

3) у = tg

3х 4;

y sin

2

5) y 2

cos4

2x

4)

;

.

3

– В –

4.2. Найти наименьший положительный период Т < 0 функций.

105

1)

y sin 2x sin 3x ;

2) y = cоs121x – 2tg

x

;

3)

y sin

x

sin 3x tg

2x

;

7

4) y = sin2x + cos22x + tg23x.

2

3

4.3. Функция f(х) имеет период Т = 2 и на промежутке [7; 9) опре-

деляется формулой:

1) f(x) = 8 – x;

2) f(x) = |x – 8| – x;

3) f(x) = (x – 8)2;

4) f(x) = (x – 7)2.

 Найти: а) значение f(3) f(2) – f(1); б) область значений Ef; в) ре-шение уравнения f(x) = 0.

– С –

 4.4. Доказать, что функция y = sinx + sin 2 x не является периодической.

4.5. Пусть функция f(x) = x – [x], где [x] – целая часть числа х.

Доказать, что функция f(х) периодическая, и найти ее период.

Найти наименьший положительный период функции f(2х +3).

 4.6. Периодическая (Т = 4) функция f(х) на отрезке [–2; 2] задает-ся формулой f(x) = x2 – 2. При каких значениях параметра а уравне-ние f(ax) = 0 имеет на интервале (–2; 2) ровно четыре решения.

106

IV. ПРОГРЕССИИ

Арифметическая прогрессия

– A –

1.1. Найти:

 номер члена арифметической прогрессии, равного 26, если первый член равен 2, а разность равна 3;

 разность арифметической прогрессии, если первый член ра-вен –5, а восьмой член равен 16;

 пятый член арифметической прогрессии, если первый член равен –6, а разность равна –3;

 первый член арифметической прогрессии, если разность рав-на 3, а десятый член равен 48;

 третий член арифметической прогрессии равен –11, разность равна 7. Найти девятый член прогрессии;

 четвертый член арифметической прогрессии равен 17, раз-ность равна 2. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.

1.2. Найти первые шесть членов арифметической прогрессии,

если:

1) a1

= 2 и d = 1;

2) a2

= 4 и d = –2;

3) a3

= –1 и d =

1

;

4) a4

= –1 и d = –2.

2

1.3. Найти:

 девятнадцатый член арифметической прогрессии, если извест-но, что ее девятый член равен –24, а разность прогрессии равна –3;

 номер члена арифметической прогрессии, равного 26, если десятый член арифметической прогрессии равен 20, а разность 3;

 сумму пятого и девятого членов арифметической прогрессии, если седьмой член равен 12;

 разность тринадцатого и девятого членов арифметической прогрессии, если разность равна 4.

107

 1.4. Между числами –5 и 7 вставили три числа, которые с дан-ными числами образуют арифметическую прогрессию. Определить разность этой прогрессии.

 1.5. Определить, сколько чисел вставили между числами 5 и 35, если вставленные числа образуют с данными числами арифметиче-скую прогрессию с разностью 6.

 1.6. Если между двумя числами вставить четыре числа, то они образуют с данными числами арифметическую прогрессию с раз-ностью 6. Определить эти числа, если их сумма равна 42.

 1.7. Между числом 4 и неизвестным числом вставили 6 чисел, при этом все числа образуют арифметическую прогрессию с разно-стью 10. Найти неизвестное число.

 1.8. В амфитеатре расположено 10 рядов, причем в каждом сле-дующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает кинотеатр?

 1.9. Велосипедист выехал из пункта А в пункт В. В первый час он проехал 8 км, а в каждый следующий час на 1 км больше, чем в предыдущий. Сколько часов он был в пути, если расстояние АВ равно 38 км?

 1.10. Определить глубину колодца, если за его рытье уплачено 238 тыс. руб., причем за каждый метр глубины платили на 2 тыс. руб. больше, чем за предыдущий, а за работу на последнем метре заплатили 30 тыс. руб.

 1.11. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту на 25 м меньшую, чем предыдущая. За сколько часов он достигнет высоты

5700 м?

1.12. Найти сумму:

75 членов последовательности с общим членом ап = 3п – 19;

40 членов последовательности с общим членом ап = 5п + 7;

22 членов последовательности с общим членом ап = 2(п+2);

21 членов последовательности с общим членом ап = –п/2 + 2.

108

 1.13. Найти формулу общего члена арифметической прогрессии вида an = f(n), для которой:

1) a1 = 5, а2 = –5;2) а3 = 4, a5 = 8;

3) а4 = 10,4) a10 = 12, а20 = 22.

 1.14. Найти наибольшее число d, при котором следующие числа могут быть членами арифметической прогрессии с разностью d:

1) 2, 21 и 59;

2)

7,

15

и 31;

3) 4, 41 и 45;

4)

5,

17

и 45?

 1.15. Сумма восемнадцатого и сорокового членов арифметиче-ской прогрессии равна 0. Найти двадцать девятый член этой про-грессии.

 1.16. Сумма первого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 22. Найти шестой член этой прогрессии.

 1.17.Сумма десятого и шестнадцатого членов арифметической прогрессии равна -8. Найти тринадцатый член этой прогрессии.

 1.18. Сумма второго и десятого членов арифметической про-грессии равна 34/21. Найти шестой член этой прогрессии.

– В –

 1.19. Сумма третьего, седьмого, восемнадцатого и тридцать второго членов арифметической прогрессии равна 84. Найти сем-надцатый член прогрессии.

 1.20. Первый член арифметической прогрессии равен а, по-следний член b, а разность d. Найти номер последнего члена про-грессии.

а = 7, b = 112, d = 3;

а = 113, b = 878, d = 5;

2) а = –5, b = 83, d = 4;

1) а = 325, b = –233, d = –6.

1.21. Найти сумму:

всех двузначных четных чисел;

всех двузначных нечетных чисел;

 всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают в ос-татке 3;

109

 всех двузначных чисел, которые при делении на 5 дают в ос-татке 1.

1.22. Найти сумму:

всех трехзначных нечетных чисел;

 всех трехзначных чисел, которые при делении на 11 дают в остатке 9;

 всех трехзначных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 5;

 всех трехзначных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 11.

1.23. Решить уравнения:

1+7+13+...+х=280;

(х+1)+(х+4)+(х+7)+...+(х+28)=155;

(х – 1)/х + (х – 2)/х + (х – 3)/х +...+ (х (х 1)) = 3, где х – целое

х

положительное число;

4) (1 + x) + (1 + 2x) +...+ (1 + 10x) = 175.

 1.24. Найти первый член возрастающей арифметической про-грессии, если:

 сумма ее первого и четвертого членов равна 16, а произве-дение второго и третьего членов равно 60;

 сумма второго и четвертого членов равна 20, а произведение первого и пятого членов равна 36;

 сумма второго и шестого членов равна 28, а произведение первого и седьмого членов равно 52;

 сумма первого и пятого членов арифметической про-грессии равна 20, а произведение второго и четвертого равно 64.

 1.25. Сумма шестого и девятого членов арифметической про-грессии равна 20, а их произведение равно 64. Найти десятый член этой прогрессии, если ее первый член отрицателен.

 1.26. Сумма второго и пятого членов возрастающей арифмети-ческой прогрессии равна 16, а их произведение равно 55. Найти третий член этой прогрессии.

110

 1.27. Разность четвертого и первого членов убывающей ариф-метической прогрессии равна -12, а их произведение равно 160. Найти шестой член этой прогрессии.

1.28. Найти возрастающую арифметическую прогрессию (т.е.

найти а1 и d), у которой:

 сумма первых трех членов равна 27, а сумма квадратов этих же трех членов равна 275;

 сумма первых трех членов равна 18, а сумма квадратов этих же трех членов равна 116;

 сумма первых трех членов равна 0, а сумма квадратов этих же трех членов равна 98;

 сумма первых трех членов равна 6, а сумма квадратов этих же трех членов равна 16,5.

 1.29. Найти арифметическую прогрессию (т.е. найти а1 и d), у которой:

 сумма второго, третьего и четвертого членов арифметиче-ской прогрессии равна 15, а их произведение равно 105;

 сумма первого, второго и третьего членов арифметической прогрессии равна 3, а их произведение равно –15;

 сумма третьего, четвертого и пятого членов арифметической прогрессии равна –24, а их произведение равно –480;

 сумма второго, третьего и четвертого членов арифметиче-ской прогрессии равна 12, а их произведение равно 48.

1.30. Образуют ли арифметическую прогрессиюположитель-

ные корни

уравнения, расположенные в порядке возрастания:

1) sinx = 0;

2) sinx =

1

;

1

2

3) tgx =

;

4) cosx = 0.

2

 1.31. Найти первый член и разность арифметической прогрес-сии, если:

 сумма седьмого и второго членов арифметической прогрес-сии равна 35, а разность квадратов этих членов равна 525;

 сумма девятого и третьего членов арифметической прогрес-сии равна 30, а разность квадратов этих членов равна 360;

111

 сумма седьмого и четвертого членов арифметической про-грессии равна (–38), а разность квадратов этих членов равна 456;

 сумма одиннадцатого и пятого членов арифметической про-грессии равна 15, а разность квадратов этих членов равна 135.

1.32. Найти разность арифметической прогрессии, у которой:

 сумма первых одиннадцати членов прогрессии равна 242, а сумма первых пяти членов равна 65;

 сумма первых десяти членов прогрессии равна 190, а сумма первых двух членов равна 6;

 сумма первых семи прогрессии равна 21, а сумма первых трех членов равна –9;

 сумма первых двенадцати членов прогрессии равна 270, а сумма первых четырех членов равна 10.

1.33. Найти сумму:

 первых двадцати членов арифметической прогрессии, если сумма второго, пятого, седьмого и двадцать восьмого членов этой прогрессии равна 79;

 первых тридцати членов арифметической прогрессии, если сумма четвертого, пятого, восьмого и одиннадцатого членов этой прогрессии равна 120;

 первых шести членов арифметической прогрессии, если сумма первого, второго, пятого и шестого членов этой прогрессии равна –4.

 1.34. Сумма второго и шестнадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 52, а произведение этих членов равно 235. Найти сумму первых десяти членов этой прогрессии.

 1.35. Сумма второго и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 8, а произведение этих членов равно 9,75. Найти сумму первых восьми членов этой прогрессии.

 1.36. От деления шестнадцатого члена арифметической про-грессии на пятый в частном получается 3, а от деления двадцать первого члена на шестой в частном получается 3 и 12 в остатке. Найти сумму первых трех членов прогрессии.

112

 1.37. От деления пятого члена арифметической прогрессии на второй в частном получается 2 и 2 в остатке, а от деления одинна-дцатого члена на седьмой в частном получается 1 и 12 в остатке. Найти сумму первых четырех членов прогрессии.

 1.38. От деления восьмого члена арифметической прогрессии на третий в частном получается 3, а от деления семнадцатого члена на девятый в частном получается 1 и 16 в остатке. Найти сумму первых четырех членов прогрессии.

 1.39. Найти первый член и разность арифметической прогрес-сии, для которой:

 произведение третьего и шестого членов равно 406, а при де-лении девятого члена прогрессии на ее четвертый член в частном получается 2, а в остатке 6;

 произведение 2-го и 5-го членов равно 27, а при делении 7-го члена прогрессии на ее третий член в частном получается 2, а в ос-татке 3;

 произведение третьего и девятого членов равно 55, а при де-лении двенадцатого члена прогрессии на ее четвертый член в част-ном получается 2,ав остатке 2.

1.40. Найти:

20-й член возрастающей арифметической прогрессии, если

а2а5=52,а2+а3+а4+а5=34;

 12-й член возрастающей арифметической прогрессии, если а1а6 = 24, a1 + а3 + a5 + а6 = 30;

 15-й член возрастающей арифметической прогрессии, если a1a5 = 12, a1 + а2 + а4 + а5 = 16.

 1.41. Внутренние углы многоугольника составляют арифмети-ческую прогрессию, разность которой равна 5 градусам. Наимень-ший угол 120 градусов. Сколько сторон имеет многоугольник?

 1.42. Внутренние углы десятиугольника составляют арифмети-ческую прогрессию, разность которой равна 10 градусам. Опреде-лите наименьший угол многоугольника.

 1.43. Внутренние углы девятиугольника составляют арифмети-ческую прогрессию. Наименьший угол 100 градусов. Определите разность этой прогрессии.

113

 1.44. Сколько сторон имеет многоугольник, внутренние углы которого составляют арифметическую прогрессию, разность кото-рой равна 20 градусам, а наибольший угол равен 234 градуса?

 1.45. Крайние члены арифметической прогрессии, имеющей 7 членов, равны 11 и 35. Сколько членов в другой арифметической прогрессии, крайние члены которой 38 и 13, если четвертые члены обеих прогрессий одинаковы?

 1.46. Первый и пятый члены арифметической прогрессии равны соответственно 7 и –5. У второй арифметической прогрессии пер-

вый член равен 0, а последний член равен 7 . Найти сумму членов 2

второй прогрессии, если известно, что третьи члены обеих про-грессий равны между собой.

 1.47. Крайние члены арифметической прогрессии, имеющей 8 членов, равны –2 и 19. Сколько членов в другой арифметической прогрессии, крайние члены которой 6 и 16, если пятые члены обеих прогрессий одинаковы?

 1.48. При каких х числа, взятые в указанном порядке, являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии:

1) 2, х – 2, 4х –16;

2) x11, 2x5, 3x19;

|2х – 3|, 3х – 13, |12 – х|;

2х–1,3х–2,3х;

2|x – 2|, |x – 5|, 6x + 36;

4|0,5x – 3|, –3|x|, –12x;

3x2 2x , x, 1;

x 10 , 3, x 2 ;

cos2x, sin3x, sinx;

sin2x, 2cosx, 4 – 4sinx;

4x, 2 9x, 3 6x;

log5(x – 8)2, log5(x – 2), –2.

114

– C –

 1.49. Найти число а, если известно, что корни указанного урав-нения составляют арифметическую прогрессию:

1) х4– 10х2 + a = 0;2) 16х4 – 40х2 + а = 0;

3) х4 – 40х2 + а = 0;4) 9x4– 10x2 + a = 0.

 1.50. Найти десятый член некоторой последовательности и до-казать, что эта последовательность является арифметической про-грессией, если известно, что при любом п сумма первых п членов этой последовательности выражается формулой:

1) п2 + 3п;2) п2 + 2п;3) 2п2 + 2п.

 1.51. Для членов арифметической прогрессии а1, а2, а3, ... из-вестно, что:

а4 + а8 + а12 + а16 = 224, найти S10;

a4 + a5 + a11 + a12 = 32, найти S15;

а1 + а5 + а13 + а17 = 144, найти S17;

a2 + a5 + a9 + a12 = 168, найти S13.

 1.52. В арифметической прогрессии для любых т и п 1 Sm/Sn = m2/n2. Доказать, что ат/ап = (2т –1)/(2п – 1).

 1.53. Числа а2, b2, с2 образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что числа 1 , 1 , 1 также образуют арифмети-

bccaab

ческую прогрессию.

 1.54. Последовательность чисел 1, 8, 22, 43,... обладает тем свойством, что разности соседних членов (последующего и преды-дущего) образуют арифметическую прогрессию 7, 14, 21,... . Найти номер члена последовательности, равного 35351.

 1.55. При каких неотрицательных а все неотрицательные реше-ния уравнения cos((6a – 3)х) = cos((12a + 5)x), расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

 1.56. При каких положительных а все неотрицательные реше-ния уравнения cos((8a – 3)x) = cos((14a + 5)x), расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

115

Геометрическая прогрессия

– А –

 2.1. Написать формулу общего члена геометрической прогрес-сии, в которой:

1)

а1

=5,а2

= 10;

2) а1

= 2, а3= 18;

3) а1

=3,а4

=

3

;

4) а1

=

1

, а3= 1;

8

4

5) а1

=2,а2

=

1

;

6) a1

= 3, а4=

1

;

2

3

7)

а3= а5= –1;

8) a4 = –54, a5= 162.

 2.2. Написать формулу общего члена геометрической прогрес-сии, в которой:

1) a1

= sin , a2 = sin2 ;

2) a1 = tg , a2 = 1/2tg ;

3) a1

= tg , a2=1;

4) ai = 1, a4 = 8.

2.3. Найти:

шестой член геометрической прогрессии, у которой первый

член равен 5, а знаменатель равен1 ;

2

 четвертый член геометрической прогрессии, у которой пер-вый член равен 7, а знаменатель равен 2;

 третий член геометрической прогрессии, у которой первый член равен 6, а знаменатель равен 3;

 пятый член геометрической прогрессии, у которой первый член равен 3, а знаменатель равен 0,1.

2.4. Третий член геометрической прогрессии равен 1, шестой

равен 1 . Найти девятый член прогрессии.

8

 2.5. Пятый член геометрической прогрессии равен 8, седьмой равен 16 . Найти третий член прогрессии.

 2.6. Первый член геометрической прогрессии равен 5, шестой равен 25. Найти одиннадцатый член прогрессии.

116

 2.7. Четвертый член геометрической прогрессии равен 1, седь-мой равен 1 . Найти первый член прогрессии.

47

 2.8. Четвертый член геометрической прогрессии равен 3. Найти произведение первых семи членов этой прогрессии.

 2.9. Третий член геометрической прогрессии равен 5. Найти произведение первых пяти членов этой прогрессии.

 2.10. Шестой член геометрической прогрессии равен 9. Найти произведение первых одиннадцати членов этой прогрессии.

 2.11. Пятый член геометрической прогрессии равен 3. Найти произведение первых девяти членов этой прогрессии.

2.12. Найти суммы:

1) 1 + 2 + 22 +...+ 210;

1

1 2

1

3

1 10

2)

...

;

2

2

2

2

1

1 2

1

3

1 10

3)

...

;

3

3

3

3

4) 1 – 2 + 22 – 23 +...+ 212.

 2.13. Найти сумму первых трех членов прогрессии, для кото-рой:

 второй член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен 10, а сумма третьего и четвертого членов про-грессии равна 60;

 третий член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен 3, а сумма четвертого и пятого членов про-грессии равна 36;

 второй член геометрической прогрессии с отрицательным знаменателем равен 20, а сумма третьего и четвертого членов про-грессии равна 40;

 второй член геометрической прогрессии с отрицательным знаменателем равен 6, а сумма третьего и четвертого членов прогрессии равна 36.

117

 2.14. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-грессии:

1)

1,

1

,

1

,...;

2)

3, 1,

1

,

1

,...;

2

4

3

9

3)

1,

2

,

4

,

8

...;

4)

4, 1,

1

,

1

,...

3

9

27

4

16

– В –

 2.15. Найти геометрическую прогрессию (т.е. найти ее первый член и знаменатель), у которой:

 сумма первых трех членов равна 26, а сумма квадратов тех же членов равна 364;

 сумма первых трех членов равна 21, а сумма квадратов тех же членов равна 189;

 сумма первых трех членов равна 14, а сумма квадратов тех же членов равна 84;

 сумма первых трех членов равна 13, а сумма квадратов тех же членов равна 91.

 2.16. Определить бесконечно убывающую геометрическую про-грессию, знаменатель которой равен отношению суммы квадратов

членов к сумме членов, а сумма кубов ее членов, поделенная на первый член, так относится к сумме квадратов ее членов, как 6:7.

 2.17. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-сии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 64 . Найти первый член

7

и знаменатель этой прогрессии.

 2.18. Найти сумму первых семи членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, про которую известно, что ее второй член равен 4, а отношение суммы квадратов ее членов к сумме чле-

нов равно 16 .

3

118

 2.19. Определить сумму квадратов бесконечно убывающей гео-метрической прогрессии, второй член которой равен 1, а сумма ее членов равна 4.

 2.20. Найти сумму первых пяти членов бесконечно убы-вающей геометрической прогрессии, если сумма членов этой про-

грессии равна 3, а сумма кубов ее членов равна 108 .

13

 2.21. Найти сумму первых шести членов бесконечно убываю-щей геометрической прогрессии, если сумма членов этой прогрес-

8

сии равна 2, а сумма кубов ее членов равна.

 2.22. Найти сумму первых четырех членов геометрической про-грессии, если:

 разность между четвертым и первым членами равна 78, а сумма первых трех членов прогрессии равна 39;

 разность между четвертым и первым членами равна 126, а сумма первых трех членов прогрессии равна 42;

 разность между четвертым и первым членами равна 35, а сумма первых трех членов прогрессии равна 35.

 2.23. Найти сумму четырех членов прогрессии возрастающей геометрической прогрессии с положительными членами, если:

 произведение второго и четвертого членов равно 36, а их среднее арифметическое равно 10;

 произведение второго и четвертого членов равно 81, а их среднее арифметическое равно 15;

 произведение второго и четвертого членов равно 4, а их сред-нее арифметическое равно 2,5.

 2.24 Найти шестой член возрастающей геометрической про-грессии с положительными членами, если:

 четвертый член на 3 больше ее второго члена, а сумма пер-вых четырех членов прогрессии равна 5;

 четвертый член на 6 больше ее второго члена, а сумма пер-вых четырех членов прогрессии равна 15;

119

 четвертый член на 18 больше ее второго члена, а сумма пер-вых четырех членов прогрессии равна 45.

 2.25. При каких значениях х указанные числа являются после-довательными членами геометрической прогрессии:

1)х–1,2х–1,3х+3;2)х+1,х+3,5х+3;

3)х–1,х+3,6х;4)х+3,2х+7,7–х.

 2.26. При каких значениях х указанные числа являются после-довательными членами геометрической прогрессии:

1) sin(x),

1

, cos(x);

2) sin(x), cos(x),

3

;

2

3) cos(x), sin(x), –

3

;

4)

5

2

cos(x), 2sin(x), 4.

2

4

 2.27. При каких значениях х указанные числа являются после-довательными членами геометрической прогрессии:

1) 32, 6

х

х2 1

,

3

5х

;

2) 3

12х–8

,

6

х2

4

, 16

3х–2

;

3

3x

cos

3) (3 5)

3cos

5x

4

,

1

,

4

5

4 ;

cos x

x,3x, 4x.

 2.28. При каких значениях х указанные числа являются после-довательными членами геометрической прогрессии:

1)

2–х,

3 2x, |6 – 5x|;

2) 4–х,

2x 4, |2x – 8|;

3)

х,

4)1+х,

x 3, |1 – x|;

7x 1, |1 – 3x|.

 2.29. Найти три числа, образующих геометрическую прогрес-сию, если:

 их сумма равна 28. Если к этим числам прибавить соответст-венно 1, 4 и 3, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию (в том же порядке);

 их сумма равна 26. Если к этим числам прибавить соответст-венно 2, 6 и 2, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию (в том же порядке);

120

 их сумма равна 21. Если к этим числам прибавить соответст-венно 3, 7 и 2, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию (в том же порядке);

 их сумма равна 21. Если к этим числам прибавить соответст-венно 1, 3 и 2, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию (в том же порядке).

 2.30. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрес-сию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 0, 3 и 15, то получим три числа, образующих геометрическую прогрес-сию (в том же порядке). Найти исходные числа.

 2.31. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрес-сию, равна 33. Если к этим числам прибавить соответственно 1, –1

2, то получим три числа, образующих геометрическую прогрес-сию (в том же порядке). Найти исходные числа.

 2.32. Первый член арифметической прогрессии и первый член геометрической прогрессии равны 3. Второй член арифметической прогрессии больше второго члена геометрической на 6; третьи члены прогрессии одинаковы. Найти эти прогрессии.

 2.33. Найти арифметическую и геометрическую прогрессии, если известно, что первый член каждой прогрессии равен 2, третьи члены обеих прогрессий равны между собой, а 11-й член арифме-тической прогрессии равен 5-му члену геометрической.

– С –

 2.34. Доказать следующее утверждение: для того, чтобы три числа х, у и z в указанном порядке составляли геометрическую про-

грессию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (x2 + y2)(y2 + z2) = (xy + yz)2.

 2.35. Три числа, из которых третье равно 12, образуют геомет-рическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

121

 2.36. Три числа, из которых третье равно 16, образуют геомет-рическую прогрессию. Если вместо 16 взять 12, то три числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

 2.37. Три числа, из которых третье равно 20, образуют геомет-рическую прогрессию. Если вместо 20 взять 15, то три числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

2.38. Найти трехзначное число по следующим условиям:

– его цифры образуют арифметическую прогрессию;

 – если к нему прибавить 396, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке;

 – если первую цифру искомого числа уменьшить на 1, вторую также уменьшить на 1, а третью увеличить на 3, то получится гео-метрическая прогрессия.

 2.39. Найти две прогрессии – арифметическую и геометриче-скую, удовлетворяющие следующим условиям:

– первые члены этих прогрессий равны;

 – сумма первых двух членов арифметической прогрессии боль-ше суммы первых двух членов геометрической прогрессии на утроенный первый член;

– суммы первых трех членов обеих прогрессий равны.

2.40. Доказать равенство

12+222+323+424+525+...+п2п=(п–1)2п+1+2.

2.41. Найти сумму 1 + 2 3 + 3 7 +...+ п(2п – 1).

122

ОТВЕТЫ

Тема I

1.1. 1)

;

2);3)

;

4)

5

;

6

4

2

6

5)4;6)5;7) 2;8)3;

3

3

3

9)

3

;

10) 8

1

;

11)

3

;

4

3

2

12); 13) 7 ; 14)11 ;

8129

7 . 4

1.2. 1) 30 ; 2) –120 ; 3) 180 ;

4) 135 ;5) 150 ;6) –270 ;

7) –540 ; 8) –765 ; 9) 510

–390 ; 11) 315 ; 12) –600 ;

105 ; 14) 110 ; 15) 907,5 .

1.3. 1)

1

;

2)

2

;

3) 1;

4)

1

;

2

2

2

5)

3

; 6)

3

; 7)

3

;

8) 0;

2

2

2

;

; 11) 1.

9)

2

10)

3

2

2

; 2)–

1

;

1.4. 1)

3

3) –1;

2

4)

2

;

5)

3

;

6) 0; 7) –1;

2

2

;

; 10)

;

8)

2

9)

3

3

2

2

2

2; 12)–1.

22

1.5.

1)

1 –

2

; 2)

3

;

2

2

3)

5

3

;4) 1;5)

2

.

1)

1,75;

2) –3;

4) 1;

2 . 2

1.8. 1) Положительный; 2) положи-тельный; 3) отрицательный.

1.9. 1) Отрицательный; 2) положи-тельный; 3) отрицательный.

1.10. 1)

3

;

2)

5

; 3)

5

;

4)

1

;

3

5

13

3

5) 2.

7

1.11. 1)

12

;

2)

12

;

3)

4

;

13

37

5

3; 5) 5.

78

1.12. 1) и 2) Положительный; 3) и 4) отрицательный.

1.13.

1)

8

;

2)

4

;

3)

3

;

4)

2 .

17

3

7

5

1.14.

1)

2(1

10

) ;

2)

13

10

;

50

1; 4)3 4 3.

5

2

10

1.15. 1)

222)23;

2

2 3;4) 2 2. 2

123

1.16. 1) cos3 < cos2 < cos1; 7

13

tg 5 tg tg 7 ;

435

4) ctg 7ctgtg 2 ;

455

cos( 1) cos 4 sin( 3).

1.17.

1) 1;

2)

2

;

3)

3

2

;

2

4

1

;

.

4)

3

2

5)

2

2

4

1.18.

1) –1;

2)

;

3) 3,88;

1

12

4) 0,92;

5) –0,184.

1.19.

1) 3;

2) 2;

3) 1;

4)

3

;

5) 0,5.

1.20.

1) 0,75;

2) 1;

3)2+

2

;

4)

1

;

5) 1.

1.21.

1) 1,5;

3

2)

;

3)

;

1

1

16

4

4)

6

;

5) 0,5.

1.22.

1) Е = { 0,5};

2)Е={ 1};

3) Е = {0};

4) Е = {1};

5)Е={

3

}.

1.23.

1) E

24

2) E

23

;

;

25

25

3)E {2

6}; 4) E

4

6

;

25

(2

6 1)

4

5) E

.

232

1.24. 1) 5

;

2)

9

;

3)

24

;

4

20

7

9; 5) 44.

25125

1.25. 1) xk , kℤ,

4

x2 k , k ℤ, 2

x2 k , k ℤ,

x ( 1)kk , k ℤ, 6

xk , k ℤ;

2

22

2

2; 5)–1.

2

1.27. 1) 0,375; 2) 0,1; 3) 0,2;

4) 0,36; 5) 1/3.

1.28. 1) x2 k , kℤ;

2) xk , kℤ;3);

xk , k ℤ; 40 8

xk , k ℤ;

5 9

1.29. 1) g(t) = 2t – 2t3 + t–2 – 1;

2) g(t) = (–32t6 + 48t4 –18t2 + 2)t;

3) g(t) =

2t 1

t

2

;

1 t 2

4) g(t) =

t

2 1

;

5) g(t) =

t2

1

.

t3

2

124

1.30. 31 .

4

1.31. 73 15 .

16

1.32.

3

2 k,2 k 44 ,2 k ,

kℤ;

2)

n,

2

n , п ℤ;

3

3

k ℤ;

3)

k,

k

,

2

3

m, m 4 , т ℤ;

5)

2 n,

2 n

6

3

2

7

, п

ℤ;

2 n,

2 n

3

6

1. 33. 1)

2 n,

2 n

3

7

4

, п

ℤ;

2 n,

2 n

6

3

2)

2 m,

2 m

2

2

2

4

2 m,

2 m , т ℤ;

3

3

3)

k,

k , k ℤ;

4

3

4)

n,

n , п ℤ;

2

4

5)4m, 4m , тℤ;

1.34. а)

2 k,

2 k , k ℤ;

3

3

б)

k,

2

k , k ℤ;

3

3

в)

k,

k , k ℤ;

4

3

г)

2 k;

2 k

6

5

2 k, (2k 1) ;

6

д)

2 k,

2 k

4

(2k

1),

(2k 1) .

4

2.1. 1) 2;

2) 3; 3)

1

;

4) cos 2 ;

5) sin2 ;

6) cos ; 7) 0.

cos

2.2. 1) 1;

2) sin – cos ;

3) –1;

4) 2sin2 ;

5) ctg2 .

2.3. 1) 1;

2) cos2 ;

3) 0;

4) –cos ;

sin ; 6) –1; 7) ctg ; 8) –1;

–1.

2.4. 1) sin ; 2) cos

3

;

2

sin2 + cos2 ; 4) cos – cos7 ;

sin4 – cos ; 6) cos – cos6 ;

–2sin .

2.5. 1)

2

;

2)

1

;

3)

3

;

4)

2

.

4

4

2

2

;

4)

1

2.6. 1)

3

;

2) 0;

3)

2

;

2

2

2

125

5)

3

; 6)

2

; 7)–

2

;

2

2

2

3 . 2

2.7.

1) 2;

2) 4;

3) 1;

4) 1.

2.8.

1) (sinx + 1)(sinx – 3);

(sinx – cosx)(sinx + 5cosx);

2cosx(sinx + 1)(2sinx – 1);

–2sin(2x + 1)sin3x;

 (cosx – sinx)(1 + 0,5sin2x). 2.10. ctg3 .

2.11. 1.

2.12. 1.

2.13.

1) ctg2 ;

2) 1;

3) 0;

4) 0.

2.14.

1) 1;

2)

2

;

3)

1

;

4)

2

;

5)

3

.

2.15.

1)

1

;

2)

1

;

3)

3

.

2.16.

2

1) sinx + cosx +1;

8

4

2) 2(1 + sin2x);

3) 2sin2x;

4) 1 + 2cos2x;

5) 2sin2x.

2.17.

1) 2cos2x + 1, x

k, k ℤ;

2) 2

при

x

k, x

k,

3

4

2

2

kℤ;

4sin3x, x k ; 2

4sinx, xk, k ℤ; 2

2cosx, xk , k ℤ. 3

3.1. 1) – ;

2)

;

3)

;

4)

3

;

2

4

4

5)

7

;

6)

5

;

7)

5

;

8) 0;

6

4

12

9)

4

;

10) 0;

11) .

3

3.2. 1) 0;

2) 0;

3) 0;

4) 1;

3 . 2

3.3. 1)

7

; 2)

4

;

3) 8;

4

5

4)

1

; 5)

2

; 6)3;

15

5

4

7) 2

6;

8)

7

;

9)

120

;

10)

24

;

9

169

7

11)

4

;

12)

23

;

13)

44

;

5

27

125

14)

2

;

15)

1

5

;

16)

119

;

3

2

2

169

17)

23

;

18)

2

;

19)

3

; 20) 1;

14

3

5

4

21)

24

;

22)

3 ;

23)

3

;

25

5

7 . 25

3.4. 1)

2

; 2)

3

; 3)

;

4)

7 ;

5

14

14

10

5)

17

;

6)

;

7)

2;

20

7

2

1; 9)5–2 ; 10)4 –10; 2

11)– 4.

1

3.5. a) x = arcsink;

б) x( 1)k arcsin 1 k; 3

в) xarcsin 1 k; 3

126

1

x arccos

2 k,

г)

3

k ℤ;

x

k,

2

1

д) x = arccos

k.

3

3.6.

1) 0,2;

2) 4

3

.

2

3.7.

1) 0,25;

2)

1

;

3)

4

; 4)4;

6

5) 1.

3.8. 1) 7; 2) 10; 3) 6; 4) 3; 5) 13.

3.9. 1) 4; 2) 2;3) 1; 4) 5; 5) 4.

3.10. 1) >; 2) <; 3) <; 4) >; 5) <.

3.11. 1)

; 2)

2( 10 1)

2

15

;

15

; 4)2;

3)

5

2(

5

1)

2 (1 ( 1)k 115). 8

3 6

3.12. 1) x

2;

4

;

1

1

3

2) x

3)

x

0;

;

;

;

3

3

3

4) x(– ; 1);

5) x; 2

2

3

;

.

1

1

3.13. 1) x

;

; 2) x

;

;

2

2

2

2

3) x [0; + );

4) x [0; 1];

 x [0; + ). 3.14. 3.

2а

3.15. 1) При |a| 9 x =;

при |a| > 9 x =;

при a 0 x = –a; при a > 0 x= ;

при | a |x a k ,

2

a k, k ℤ; 2 2

при axk,

2

4

при a

x

k,

2

4

при | a |

x = ;

2

при a < 0 x = ;

при a = 0 x = t, t [–1; 0]; при a (0; 2] x a ;

2

при a > 2 x =;

при a 0 x а ; 4

при a0 xа .

2

4.1. 1) x( 1)k 1k;

6

2) x = k; 3) xk;

x = k;

x 2 ( 1)k 1k;

393

kℤ;

2 2 k, k ℤ; 3

127

7)+ п , nℤ;

2 п , n ℤ;

3

2 k; 2 2 m , k, m ℤ; 3

10)п ; n ℤ;

6 2

;

k, k ℤ;

2 4 п , 4 k, n, k ℤ;

3

14)

2

+

2

n,

2

+

2

k,

3

12

3

3

4

3

n, kℤ;

k ; 5 2 n , n, k ℤ;

26

+ n , n ℤ; 6 3

+ k ,2 n ,

8293

22

m , n, k, mℤ;

4k

18), kℤ;

7l , l ℤ;

24

k;2 n ; 5 2 m ,

6

6

n, k, m ℤ;

21)

+ n ;

2

2 k, n, k ℤ;

3

k , k ℤ;

2

4.2. 1) x( 1)k 1 arcsin 2k;

232

2) xarccos 12 k;

6

x1 arctg 1 k;

6

2

3

2

3

1

4)

x

arcctg

k;

4

3

5)

x

1

1

k;

arccos

6

2

k ℤ;

4.3. 1) 2;

2) 8;

3) 3;

4) 2;

5) 3.

4.4. 1)

13 6

;

2)

11 6

;

9

11 18; 4)26 9;5)6 7 .

61212

4.5. 1)+ 3 n, – + 3 k, n, kℤ;

n ,k , n, k ℤ;

9

3

9

3

3)

k

,

k ℤ;

12

2

4)

k,

n, n, k ℤ;

6

5п, n ℤ.

12

1

4.6. 1) k;arccos 2 n,

n, kℤ;

–arctg2 + k, k ℤ;

+ n , n ℤ; 6

n , n ℤ; 12 2

128

5) arctg 3

k , k ℤ;

5

–arctg 3 n , n ℤ; 2

4.7. 1) ( 1)nn , nℤ;

6

arccos 19 2 2 k , k ℤ; 5

+ 2 п; arccos 3 2 k , k ℤ; 4

2 т , m ℤ;

2

+ 2 k; 2 2 т , k, m ℤ; 3

п ; 5т , n, m ℤ;

12

1 arctg2 k ; 1 arctg5 n ,

2222

k, nℤ;

n ; –arctg3 + m, 4

n, mℤ;

2 k, k ℤ; 3

k, 5 2 n, k, n ℤ;

26

n 1

11) ( 1)n, nℤ;

( 1)n arcsin 3 65 n, 14

nℤ;

х = arctg 4 2 k , 3

х = arctg

3

2 n , k, n ℤ;

4

2 2 k, k ℤ; 3

2 2 k, k ℤ; 3

( 1)n arcsin 3 5 n, n ℤ; 2

2 п , n ℤ;

5

18)

4

arccos

1

8 k

, k ℤ;

3

3

3

19)

( 1)n

n , n ℤ;

6

20)

2 n ,

n ℤ;

6

21)

2 n ,

arccos

1

2 k ,

6

3

k, п ℤ;

22)

2 n ,

arccos

1

2 k ,

4

k, nℤ;

4.8. 1) arctg3 + n; arctg7 + m,

n, mℤ;

n ; –arctg2 + m, 4

n, mℤ;

3) –arctg 1п , nℤ;

2

4)

n ;

arctg2 + k, n, k ℤ;

4

5)

n ;

–arctg

7

т ;

3

n ; –arctg 1 т , n, m ℤ;

22

129

7)

n ;

–arctg 3

k ,

4

5

n, k ℤ;

8)

п;

arctg3 + k, k, n ℤ;

2

n; –arctg 5 k , n, k ℤ; 4

n ; –arctg 2 k ;

3

k, k ℤ;

arctg (3 1) k;

 –arctg (3 1) n, n, k ℤ; 13) n , n ℤ;

2

k ; –arctg 7 n ,

44

n, kℤ;

n, n ℤ. 12

4.9. 1) ; 2)

5

;

3)

;

4)

11

;

3

2

12

5)

19

.

6

4.10. 1)

5

;2)1 ;

3)

4

;

4)

;

12

9

4

5)

.

3

4.11. 1) ( 1)nn , nℤ;

4

2 n, + 2 k, n, k ℤ; 2

( 1)nn , n ℤ; 4 6

( 1)nn , n ℤ; 6 3

( 1)nn , n ℤ. 3 6

4.12. 1)5n , nℤ;

12

2 k, 2 п 2 , n, k ℤ.

3

4.13. 1) ( 1)n arcsin 2

10

arccos

1

n, n ℤ;

10

3

2) 0,5 ( 1)n arcsin

13

arccos

3

n ,

n ℤ;

13

arccos 3 2 k, k ℤ.

35

4.14.

1) k,

п , n, k ℤ;

8

4

2)

k ,

п , n, k ℤ;

10

5

2

3)

k

,

п

, n, k ℤ;

4

6

3

k , п , n, k ℤ; 3 7

k3

5),п , n, kℤ;

k ,n , n, k ℤ;

82164

7)1n ,1k ,

12332466

n, kℤ.

130

4.15. 1)

4

;

2)

11

;

3)

;

9

30

36

;5) .

218

4.16. 1)

2 n

;

k; + 2 l;

5

2

n, k, lℤ;

n ; 2 2 k ; n, k ℤ.

8

4

9

3

4.17. 1)

k

;

n

; n, k ℤ;

10

5

6

3

k ; n ; n, k ℤ; 5 7

k

3) n,, n, kℤ;

n

4);k; n, kℤ.

п

4.18. 1);k , п, kℤ;

п;k , п, k ℤ; 48 8

n , п ℤ;

4

4)1 arccos 3 n , п ℤ;

4 2

n ; m , п, т ℤ; 4 6

n ; m , п, т ℤ;

843

n ; m , п, т ℤ; 2105

n ; п ℤ;

62

2п; 2 2т,п,т ℤ; 3

п,п ℤ; 6

n ; п ℤ; 6 2

k , k ℤ; 4

п,п ℤ. 3

4.19. 1)2 п ; 2 k,2 l ,

24

п, k, lℤ;

arccos 22 n , п ℤ; 4 4

3) 2 k;2 п;т ,

24

т, п, kℤ;

k , k ℤ; 8

–+п,п ℤ; 4

п

1

п ,

6)( 1)

arcsin

4

3

2

ℤ;

п

1

п ,

7)( 1)

arcsin

4

7

2

ℤ.

5k

4.20. 1), kℤ;

2)+ п; 7k , п, kℤ;

412

131

n , п ℤ. 6 2

4.21. 1)+ п; ( 1)k 1k;

6

п, kℤ;

2)+ п,k, п, kℤ;

k ;n ;m ;

3

10

5

8

4

т, п, k ℤ;

4)

k

;

n;

m

;

4

2

2

10

5

т, п, k ℤ;

n

5)

2 k;

( 1)

n

;

2

12

2

п, kℤ;

k; ( 1)nn ; п, k ℤ; 6 2

k ; ( 1)n n ;

63186

п, kℤ;

k; ( 1)n 1n ; п, k ℤ;

8 2

9) arctg 1n;22 k;

3

п, kℤ;

arccos 1 2 n; 3

1

k;

п, k ℤ;

arctg

5

l ; k ; l, k ℤ; 4 8 2

12)+ п;+ k; п, kℤ;

3

arccos 1 2 n; – + k;

3

п, kℤ;

14)

k

;

l

1

arccos

3

;

14

7

10

10

10

n

1

arccos

3

;

п, l, k ℤ;

4

4

10

k; 4

arcsin 4 17 k ; п, k ℤ;

2

k; ( 1)n arcsin 1 n;

2

3

п, k ℤ;

2 k

17)

2

n;

3

; п, k ℤ;

18) 0;k;l ;

16 2

 m ; k, l N {0}, m N. 16 2

4.22. 1)2 п; пℤ;

6

2 k;2 п ; п, k ℤ.

4

4

3

4.23.

1)

2п; п ℤ;

3

( 1)nn ; п ℤ; 18 3

3)

( 1)n arcsin

1

n; п ℤ.

3

3

4.24. 1)

2 п ;

п ℤ;

4

132

2 2п;п ℤ. 3

4.25. 1)k ;2 п , п, kℤ;

3 3 n; 6 k; 2 + 6 l; 2

п, k, lℤ;

3п;3 3т; 2 4

( 1)n 1

3 n

; п, k, т ℤ.

4

2

4.26. 1)

3;

3

2) 0;

;

3)

1

;

2;

3;

3

3

4)

2

3;

2

1;

5)

0;

1

.

3

4.27. 1) 2;

2) 1;

3) 4;

4) 6.

4.28.

3

1) 0;

;3 ;

2)

;

;

4

2

3) x

k , k 5, k ℤ; 2 ;

6

2

4)

x

3

k , k –1, k ℤ;

;

4

xk , k 2, k ℤ; 12 3

7

3

6)

x

;

;

.

8

8

8

4.29. 1) 1; 6; 0;

2

;

4

;

3 3

2) 0; 4;

;

7

;

6 6

x 1 k , k [–4;–3;…;5]; 8 4

1 k , k [–3;–2;…;1]; 5 ; 6 ;

424 5

xk, k (– ;0] [6;+ ); 4

kℤ;

5);2 ;5 ;17 ;3 ; 331818

6) 19 ; 3k1; k ℤ; k > 6;

66

4.30. 1) 2 k, xk, kℤ;

32

2

2)п, xп, nℤ;

4 2 l, x l, l ℤ; 3

п, xn, n ℤ;

62

7 2 k, x k, k ℤ.

64

4.31.1)2; 2); 3)2; 4);

3432

3 .

4

4.32. 1) 1; 2) –3; 3) 2; 4) 3; 5) 0.

4.33. 1)1; 2) 1; 3) 3; 4) 1;

357

3 . 2

4.34. 1) xk;k;2 k;

2

 2 k ; 6

133

x; 3) x k; 12 2

x 5 2 k ;

6

5) x = k,kℤ.

4.35. 1) x2 k;2) x;

xk;

6

1

4)

x arccos

2 k;

4

x ( 1)k 1 arcsin 1 k; 4

6) ( 1)nп;2 т;

62

п, тℤ,т0.

5 2 m; т ℤ; 6

3 2 n; п ℤ;

4

arcsin 3 2 n , п ℤ; 4

– 2п;

3

1

arccos2 m; п, т ℤ;

5

k ; k ℤ; k 8l + 4; 8

n ; k ; п, k ℤ;

63105

6l –2, k 10l – 3;

arctg3 + k.

4.36. 1) arctg 2n , пℤ;

3

п ( 1)п 1 arcsin 1 , п ℤ; 3

3)2 п,пℤ;

4)2 k;2 п; п, kℤ;

24

5)2 п, 42 k, п, kℤ;

3

2 п, 2 k , п, k ℤ; 3

arcsin 2 2 n , п ℤ; 3

4.37.1)2 ;2)2 ; 3) ;4)2 ;5) .

4.38. 1) x2 k;

6

1

2)

x arccos

2 k;

4

x2 k;

4

x 2m; x 3k;

7

x 3 2 k.

4

4.39. 1)arctg2 + 2 п, пℤ;

2 k; 6

3

arcsin

1

2 n; п, k ℤ;

4

2

2

3)

k

;

n;

п, k ℤ;

2

4

1

arccos2 n , п ℤ;

5

2 k; 3 2 k, k ℤ;

4

k ;п ; п, k ℤ;

4 2

7)2 k; 32 k ; kℤ;

88

134

2 k; 5 + 2 п;

4

24

п, k ℤ;

9) +2 п;

1

+ 2 k;

+ arctg

4

п, kℤ;

2 n; arctg(–2) + 2 k; 2

п, kℤ;

11)2 n; arctg5 + (2k+1) ;

2

п, kℤ.

4.40. 1) x7; 2) x5;

43

x 11 ; 6

51

4) x = 2arccos;

5) x7 .

4

4.41. 1)

;

2)

;

3) 1

2

;

6

3

3

–1; 5). 2

4.42. 1) 2 n17 , n ℤ;

12

l, l ℤ; 3

3 2 n, n ℤ; 4

2 n, n ℤ; 2

m, m ℤ. 6

4.43. 1)2 k, k ℤ; 2) l, l ℤ;

k,2 т, m, k ℤ; 2

k,п, n, k ℤ.

4

4.44.

2 l, l ℤ.

3

3

4.45.

( 1)k 1 arcsin

k;

13

( 1)n 1 arcsin

6

n;

13

( 1)m arcsin

12

m;

п, k, т ℤ.

13

2

2

4.46.

;

2 k

;

2 n

;

2

3

3

2 m

,

где k = –1, –2, –3, …;

3

 = 0, –1, –2, …; т ℕ. 4.47. { 1}.

4.48. –2.

4.49. 48.

4.50. 5.

4.51. 9.

4.52. 1) a ( ; 0,5]; 2) a

2

;4 ;

3

3) a [0; 1];

4) a = 1; 5) a ℝ.

4.53. 1)

1

a

; ;

2

a ( ; 1) (0;1) (2; );

a ( 2;1); 4) a ( 1; );

1

a –2.

5)

a

;

(3; );

 3 4.54. –6.

4.55. 1) a

3

;

2) a =

9

;

11

7

135

3) a11 ; 4) a 3 ; 5) a 1 .

6

16

2

3

4.56. 1)

n,arctg( 2) n ,

4

n ℤ;

2) a ( ; 2];

3)

n,

n , n ℤ;

3

6

1

4) 1;

{0}.

3

4.57. 1) a 3;

7

;

2) a {–3; 1};

3

3) a {–2; –1};

4) a {–4; 2};

5) a {–3; 1}.

4.58. 1) При а(– , –11)(5, + )

хп ;

2

при а [–11; 5]

х

п,

1

2

1

х2 = ( 1)k arcsin

(

2) k;

5 а

2

п, k ℤ;

2) при а [2; 3]

k ℤ;

х = k 0,5arccos(2a 5) ;

при а(– , 2)(3, + ) x =;

при а (– , –1) (1, + ) {0} x = k;

при а [–1, 0) (0, 1]

x = k, х = ( 1)п arcsinа п,

п, kℤ.

25

4.59. 1) При b

,

[0, )

4

x =;

25

при b4 ;0

21

5 arcsin 5 b 5 n ,

п ℤ;

при a ( , 3)

( 3;1) (1;3) (3; )

x arcsin

2

n ,

п ℤ;

a

при a ( 1;1) { 1

3}

x = .

4.60.

a

3

;3 .

2

4.61.

1)

a 1; 1,2 ; a

6

;

4

2

4.62.

1

1

0;

;1 .

2

2

4.63.

а

1

5

;

.

2

9

4.64.

(8– 6

3 ; –1).

4.65.

3.

1

1

5

4.66.

;

.

2

2

2

4.67.

1) При

1

3

a;

[1; )

2

x ( 1)n arcsin

1 2a

n,

1 2a2

y arccos

2(a 1)

2 k;

1 2a2

п, kℤ,

136

1

3

при

a

; 1x = .

2

4.68.

1)(3– 2

2

;+ );

4.69.

(5– 2

7

;+ );

4.70.

18

2

2, .

;

0;

5

3

4.71.

При а (– ,0)

а2–1;

при а [0; ]

–1;

при

а (;+)

2–2 а–1+а2.

4.72.

1

Приа,

7а ;

2

при

а

1

1

4а2 3а 1;

;

2

4

1

3

при

а

,

а

.

4

4.73. 1) a{–6; –5; 3;4;};

a { 4; 5};

{–10; –9; 10};

a = 5; 5) a = 10.

4.74.

2

11

a

;

3

18

7

7

5

2

;

;

.

12 18

6

3

4.75.

| a |

2

,

a 0.

9

4.76.

| a | 2.

4.77.

1) a = 2; 2) a = 1;

3) a = 10;

4) a = 1.

4.78.

15

27

a

;

.

4

4

4.79. 1) 7; 2) 0; 3) 5 ; 4) –7 ;

5) 12.

4.80. 1) а[–1; + );

7

13

2)

a

;6 .

2

4.81.

1) a = 2;

2) a = 100.

4.82.

а [–3; 1].

5.1. k

;2 n

,п ℤ.

6

5.2..

5.3. {(– ; ); ( ; – ); (0; –2 ); (0; 0); (– ; )}.

5.4.

(12n 5)

(3n 1)

;

;

12

3

(12n 1)

(3n 2)

;

,п ℤ.

12

3

,п ℤ.

5.5.

k

;

k

3

3

5.6.

(6n 6k 1)

(6n 6k 1)

;

;

6

6

(6n 6k 1) (6n 6k 1)

;,

63

ℤ.

5.7.

3;

2

2 n , п ℤ.

3

n

2

5.8.

( 1)

n;

2 k ;

6

3

n 1

( 1)

n;

2 k ,

6

3

п, kℤ.

137

7

5.9.

(k n);

(k n) ;

12

24

2

7

(n k);

(k

n) ,

12

24

п, k ℤ.

5.10.

1

п

arcsin

2

m

arcsin

4

2

( 1)

5

( 1)

5

(n m) ;

1

п

2

m

4

( 1)

arcsin

( 1)

arcsin

(n m) ,

2

5

5

п,т ℤ.

5.11.

2

;

.

3

3

5.12.

(n k);

(n k) ,

3

3

k, т ℤ.

5.13.

(n k)

;

(n k) ,

4

4

k, n ℤ.

5.14.

(8n 1)

;

(8k 5)

,

4

4

п, k ℤ.

5.15.

1

;

.

2

2

5.16. n;

2 m , п, т ℤ.

3

5.17.

(2 n; 2 k );

k, п, т, p ℤ.

2 m

;2 p

,

2

5.18. При k = 1

tg

(1

7 );cos

(1 7).

4

5.19. При k = 2

cos

; 1 .

2

4

6.2. 1)

2

7

ℤ;

2 k;

2 k , k

3

2)

2 k;

2 k , k ℤ;

3

3

3)

k;

k

, k ℤ;

4

3

4)

k;

k

, k ℤ;

6

3

5)

2 k; 2 (k

, k ℤ.

1)

2

6.3. 1) 5;

2) 2;

3) 3;

4) 3;

5) 2.

7

13

ℤ;

6.5. 1)

2 k;

2 k , k

6

2

2)

2 k;

2 k

3

3

2

4

, k ℤ;

2 k;

2 k

3

3)

2 k;

2 k

6

4

5

7

2 k;

2 k , k ℤ;

6

4)

k;

k

6

2

3

k ℤ;

k; (k 1) ,

4

138

5)

2 k;

2 k

6

4

7

2 k;

2 k

6

2

5

3

, k ℤ.

2 k;

2 k

4

2

6.6. 1)

5

x

;

;

;

6

2

2

6

5

3;3 6; ;

3

4;3 4; ;

2; 3 4;0

2

3

0;

; .

3

4

5)

;0

0;

;

.

2

2

2

6.7.

1) a = 1;

2) a = 1; a = 2;

a = k, k ℤ;

4) ak, kℤ; 5) a = 0.

6.8. 1) x( 1)kk;

4

x( 1)k k; k ℤ; 6

2) x2 k;x2 k;

43

kℤ;

x ( 1)k 1k; k ℤ; 12 2

4) xk;xk;

xk. 3

6.9. 1) p(– ; –2) (1; + );

3

3) p [–1; 0];

2) p

;

;

2

4) p [–3; 2];

5) p [–3; 3].

6.10. 1) x

2

3

;

;

3

4

x 6 ; 4 {0};

3)

x

5 25

7 29

;

;

;

3

12

12

3

4)

x

3

5

;

;

;

2

4

4

3 5

x 4 ; 6 .

6.11. x(– ; –2] [2; + ).

6.12. x

2

2 k;

2 k

,

6

3

kℤ.

7.1. 1) 1 и

; 2)

1

и –

1

;

2

1

4

4

и

3)

3; 4) 1; не сущест-

3

вует;

5)

1и –1.

7.2. 1)

x [2 k; (2k 1)],

k = 0, 1, 2,…;

x[ 2(m 1); 2 m], m = 0, –1,–2,…

x ℝ;

139

3) x [ ; ) \

k, k 1,2,3,... ,

2

x = m, m = –1, –2, –3,…;

4) |x|

k;

k

, k = 0, 1, 2,…;

2

5)

x;

m, m 1,2,... .

2

2

7.3. 1) xk, kℤ;

4

xm, m ℤ; 3

x

m,

2

3)

k, m ℤ;

k

x ( 1)

k,

6

xk, k ℤ; 2

xk, k ℤ. 4 2

7.4.1)2 ;2) 3 ;3);4)2 ;

323

.

7.5.

3

.

2

7.6.

3

.

7.7.

5.

7.8.

64

.

27

7.9.

11.

7.10. 1) E

2

1

1

; 1 ;

2)

E

4

2

;

;

2

3)

E

1

4)

E

1

0;

;

; 0 ;

2

5) (;1].

7.11. 1)

4

;

2) –

17 2

;3)85

3;

5

26

–3; 5) 17 . 3

7.12. 1) a(–1,5;+ );

2) a (– ;1);

3) a (– ;2);

4

4)

; ; g (– ;2].

3

7.13. 1) x = 2;

2) x = 4; 3) x = 7;

4) x = 5;

5) x = 3.

7.14. 1) xk, kℤ;

4

xk, k ℤ; 2

x k, k ℤ;

xk, x = m; k, т ℤ; 6

xk.

6

7.15. 3.

7.16.

1) –1;

2) –4;

3) –3;

4) –2;

5)–6.

7.17.

1)

7

;

2)

2

;

3)

5

;

4)

1

;

6

5

8

3

1 .

4

7.18. 1) E = [a2 – |a| – 2; a2 + |a| – 2], |a| 2;

2) при a(– ;–2] [2;+ )

E = [–a2;a2];при a(–2; 0]

E

a

(a

2

4);a

2

;

4

при a (–2; 0]

2

a

2

E

a

;

(a

4)

;

4

140

3)E12

sin a

;

4

1 2

sin a

, a ℝ;

4

4) при sina > 0

1 cos

2

a

3

E

; ;

4 sin a

8

при sina < 0

3

1 cos2 a

E;

;

8

4

sin a

при a = k, E = ℝ.

Тема II

1. 1.1. 1) 2

2) а2;

3) n2m

;

2;

n

4) 3b; 5) 2а4 2а2 ; 6) 5x2.

1.2. 1) 53a5 ;2) 797 q3 ; 3) 52b5 ;

4) 12a3 ;

5) 3 27b4 ;

6)

n5 ;

7) 3

m8

; 8)3

m8

;

9) 7

128q10

.

1.3. 1) 8,9;

2) 6;

3) 30;

4) 1;

5) 0,6;

6) 1,5;

7) 1,5;

8) –1,2;

9) 0,8;

10) 225;

11) 72;

12) 45;

13) 6;

14)

5

;

15)

1

;

16) 4;

4

2

17)

1

;

18) 2;

19) 1;

20) 2;

2

21) 3;

22) 2;

23) 6;

24) 12;

25) 2;

26)

2

.

5

1.4. 1) 3a4; 2) 2b3; 3) 24b3; 4) 74c5;

5) 113d2; 6) 32a; 7) –a3b;

8) –a3b2;

9) 3a;

10) 2t–2;

11)

2b ;

a

12)

n

; 13) c9;

14) c2;

2m

15)

38

ab3

;

16) b2

a

.

1.5. 1) 11b–5,2; 2) 4k–5,1;

3) 13c4;

4) 14c3;

5) 24c2;

6) b

9 ;

1

7)10b 7 ;

8) a12 ;

1

11

9) a0,3;

10) a12;

11)

a 4 ;

5

13) 8c 9 ;

12) m5;

4

5

14)

5c 6 .

1.6. 1) 21/3;

2) 31/3;

3) 40,1;

4) (

5

)0,8 .

2

1

1

3) 25;

4) 216;

1.7. 1) 2 3;

2) 23;

1

2 4.

1.8. 1)3

60

;

7

2) 320;

3

3) 33;

4) 33,5;

5) 34.

1.9. 1) 3;

2) 4;

3) 8;

4)

1

;

5) 2;

3

6) 64;

7) 27;

8)

1

;

9) 4;

2

10)

1

;

11) –

1

;

12) 1;

2

3

2

13) –3;

14) 10.

11

1.10. 1) –17;

2) –4;

3) 8;

4)3 6;

5) 111,2;

6) 60,7;

7) 2; 8)

27

;

141

4

1

729

9) 54; 10)

; 11)7 12;

12)

;

5

16

1

1

13)5 102 5;

14) 36;

15) 2,5;

16) 1;

17)

89

;

18) 128.

45

1.11. 1) 1;

2)

1

;

3) 2;

4) –2;

2

1

4

5)

;

6) –5;

7)

;

8) 2;

3

–2; 10) 5 .

1.12.

1) –3;

2) –2;

3) 3;

4) –2;

3

5) –1;

6) –2.

1.13.

1) 3;

2) –2;

3) 3;

4) log23–2;

5) –2;

6) 2;

7) 4;

8) 2; 9) 2; 10) 2.

1.14.

1) –3,5;

2)

5

;

3) –4; 4)

3

;

4

2

1

2

5) 2

;

6)

.

12

1.15.

3

1) 2;

2) 1;

3) 2;

4) 3;

5) –7;

6) 2;

7) 2;

8) 2.

1.16.

1)

49

;

2) 4;

3) 2;

4) 16;

5

5) 25;

6)

2

7) –6;

;

8) 54;

9) 12;

10) 9.

1.17.

1) 3;

2) 5;

3) 97;

4) 5;

5) 0,5;

6) 5;

7) 2; 8) 24;

9) 2;

10) 6;

11) 6;

12) 10;

13)

1

;

5

14)

1

;

15) –6.

7

1.18.

1) –20,2; 2) 27

1

; 3) –16,5;

8

4) 551.

8

1.19.

1) 20;

2)

4

3)

9

;

3;

25

22; 5) 23; 6)8;

–4; 8) 23.

1.20. 1)

–72;

2) 24;

3) 4;

4) 14;

5) 6;

6) 6;

7) 2;

8) 6; 9) 18.

1.21. 1)

10;

2) 3;

3) 5;

4) 49.

1.22. 1)

324;

2) 30;

3)

2;

4) 3;

5) 4.

1.23. 1)

1

;

2)

1

;

3) 4;

4) 3;

2

2

5)

1

.

3

1.24. 1) 0,36; 2)0,16; 3) 402; 4) 7;

 5; 6) 3; 7) 5; 8) 27; 9) 11. 1.25. 1) 10; 2) 2,01; 3) 3; 4) 5;

2; 6) 0,125; 7) 0,2.

1.26. 1) 19; 2) 11; 3) 15; 4) 47;

57; 6) 24; 7) 2; 8) 4.

1.27. 1) 2;

2)

2

2;

3) 55;

4) 67.

1.28. 1) 1;

2) 0;

3) 2;

4) 1;

5) 1.

1.29. 1) 3;

2) –1;

3)

10; 4) –2;

–2; 6) –1; 7) 0; 8) 0; 9) –1;

1.

1.30.

1) 0;

2) 0;

3) 0.

1.31.

1) y1/m;

2) (a2b)–1/12;

3)a1/3+b1/3;

4)

1

;

a(a1/ m a1/ n )

5)

x1/ m 3x1/ n

;

6) 0;

x

1

1

7) z p 3 ;

8)

.

a(3a b)

1.32.

1) 0;

2) 5;

3) 4;

4) 6;

5) –8;

6) 2; 7)

1

;

8) 2.

2

142

1.33. 1) 4 + 2a;

2) 1

b

;

6

3)

2 2a

; 4)

1 b

;

2 a b

3(1 a)

a(b + 3); 6) 1 (2ab 3). 2

1.34. 1) a < b;

2) a < b;

3) a > b;

4) a > b;

5) a > b;

6) a < b.

2.1. 1) –3;

2)

1

; 3)

3

; 4) –4;

2

4

5)

5

; 6)3;

7)

19

;

8) –2; 9) 2;

2

5 log3 7; 11) 1 (1 log5 2); 2

12) log29; 13) { 1}; 14).

2.2. 1)

{0;–2};

2) –

1

;

3) 1;

4) 0;

5)

5

;

6) 5;

7) 4;

8) –3;

9) 1;

4

2

3

2

10) 0;

;

11)

;1 .

2

19

2.3. 1)

3;

2) 1;

3) 1;

4) 2;

5) 0;

6) 1/2.

2.4. 1)

0;

2) –2;

3) 3;

4) 0;

5) 0;

6) 0;

7) 0;

8) –1;

9) 1.

2.5. 1)

1

;

2) 2;

3) { 2};

4)

1

;

3

5

5) { 4};

6) { 5};

7)

10

;

8){ 3; 1}; 9) {2; 4}; 10) {1; 4}.

2.6. 1) 3; 2) 3; 3) 5; 4) 2.

2.7. 1) 16; 2) 81; 3) 125;

1 ; 5)33.

27

2.8. 1) 25; 2)10002 ; 3) 64; 4) 9;

5) {4,5; 6}; 6) 3; 7) 3.

2.9. 1)

7

2) {2; 3}; 3) 10;

;2 ;

2

{–3; –4}; 5) {–10; 0};

{–2,5; 3}.

2.10.

1)

1

2) 10.

;3 ;

5

2.11.

1)

8

;

2)

1

;

3) 3;

7

8

4) 0;

6

; 5)(– ;1];

6)

1 .

5

8

2.12.

1)

–2;

2) 1; 3) 1; 4) 4; 5) 3;

6) 2.

2.13.

9.

2.14.

4.

2.15.

1)

0;

2)

1

;

3) 1,5;

2

4){

2}.

2.16. 1) {2; 3log74 + 3};

{1; –(1 + log155);

{–3; 3 – log725}.

2.17. 1)

{–1; 4};

2) {1/3; 2; 4};

3)

{–1; 3; 4};

4)

3

3; 1;

.

2

2.18. 1)

{–2; 0};

2) 3;

3) 1;

4)

0;

5) {0; log75};

6) 3;

7)

0;

8) 2;

9) 3;

10) 5;

{ 2}; 12) 3; 13) 1;

{1; log173}; 15) 1;

16) { 1;

2}; 17)

3

;

2

{1;log3 2 (3 2)};

1

;1 . 3

143

2.19.

1)

2;

2) –1;

3) 1;

4)

2

;

3

5) { 1};

6) 2; 7) {log32 – 1; 2};

8)

4

;1

1

log2

3 ;

9) 1;

10) 1.

3

3

2.20.

1)

{ 2};

2) { 2};

3) { 3};

4){0;log

6}.

5

2

7

2.21.

1)

0;

2) 0;

3) {0; 1};

4) {–2; –1};

5)

1

6) 1;

0;

;

2

7) log

3

;

8) {0; 1};

5 1

2

2

9) 0;

1

;

10) –1;

11) 1;

12) 1.

2

2.22.

1)

{1

3};

2) {–2; 3}.

2.23.

1)

{2; 4}; 2)[3; )

1

.

2

2.24.

1) log32;

2) 0;

{log3 (3 1);log3 (3 7 )};

4; 5) –1; 6) 1.

2.25. 1) 4; 2) 2; 3) {3; 10}.

2.26. 1); 2) 5; 3) 7; 4) –2.

2.27. 1)

5

;

2) 1; 3)

5

;

4) 8

1

;

3

2

3

5)

2

;

6)

3

5

.

5

2

5

7

7

2.28. 1)

;

2) 2;

; 3) –1;

3

4) 9.

2.29. 1) –1; 2) 2; 3) 1; 4) 3; 5) –1;

6) 3.

2.30. 1) 2; 2) 3; 3) –17; 4) 1;

5) 2; 6) –2; 7) {–1; 3}.

2.31. 1){ 11; 1}; 2){2 5 / 4 1; 3};

1

3)

4) {3;3 2};

;3 ;

3

5)

7

1

3;6

;7

;11 .

8

8

2.32. 1) {0,1; 100}; 2)

1

;4 ;

8

1

3) {1; 25}; 4) {1; 5,5};

5)

;8 ;

2

–7

1

1

6) {3; 3

};

7)

;9 ;

8)

;4 .

3

16

2.33.

1

1)

;8 ;

2) { 2;4};

3 4

3){3;9};

4)

9

;23 .

5

2.34.

1)

1

2) 3;

3) –1;

;9 ;

3

1

1

4)

;1;3 ;

5) { 3}; 6)

;1;8 .

9

2.35.

1)

{1; 25}; 2){3

3;3}.

2.36.

1)

1

;

2)

1

;

3)

10

.

2

49

9

2.37.

1)

2; 2)

;

3) –

;

1

4)

.

1

1

2.38.

1)

512;

2) {1; 27}

3) 4.

2.39.

1)

{2; 4};

2) {–1; 2};

3) 2.

2. 40.

1)

1

2){8; 9};

;2 ;

2

3) {64; 81};

4) {1; 24

3};

125

5) 1;

.

27

144

2.41. 1) arctg2 + 2 n, nℤ;

2) 22 k, kℤ;3)2 n;

3

4

4)

1

2 n;

arccos

3

n1

5) ( 1) arcsinn .

7 11 513 2.42.1) ; ; ; ; ; 12 24 24 12 24

2)

2

3)

7213

;

;

;

;

;

6

3

3

3

6

5 13

4)

;

;

;

5)

2 n,

6

6

6

n ℤ;

6)

.

4

2.43. 1) 1; 2)

1

;

3) 0;

4) –1;

5) 0;

6) 1;

7) 3.

2

2.44. 1)

n, 2 k, k, n ℤ;

2

2) –

2 n, n ℤ;

2

3)

n, n ℤ;

3

4)

n, n ℤ.

6

2.45.

9 11

;

.

4

4

2.46. 1)

n,

n ℤ;

4

k, k ℤ;

3)

n; 6

n ℤ;

2

4)

k;

4

;2 k ℤ.

3

2.47. 1) 1;

2) 3; 3) 2;

4) 1; 5)0;

6)–1.

2

2

3.1. 1) (– ; 3];

2) (–1; + );

3) (–2; + );

4) (– ; 3];

5

3

5)

; ;

6)

; ;

2

4

7)

1

8)

8

;

;

;

;

2

3

9)

9

10);2 log3 2 ;

; ;

5

57

;6;12) 2; ;

13)

4

14)

5

1

;3

;

;

;

3

3

2

15)

1

16) ;

17) ℝ;

; ;

2

18); 19) (– ; 7); 20) [8; + );

5 ; 2 ; 22) (log25; + );

3

(–1; 7);

(1 5; 1) (3;1 5) ;

(– ,0) (3;+ );

(– , –8) (4; + );

(– , –8] [6; + );

28)

3

;;

29) (1; 4).

4

3.2. 1) [16; + );

2) (8; + );

3) (0; 3);

4) [2; 3);

145

5) (2; + ); 6)

10

; ;

7

[–2; –1) (3; 4];

[–5; –3) (3; 5];

(– ; –4,5) (4; + ); 10) [2; 5];

11)

5

1

12)

3

52

;

;

;

;

5

6

3

5

(– ; –2] [4;+ );

(–1; 1) (2; 4);

15)

1

( ;2)

; ;

2

(– ; –9] (3;+ );

[ 1;1 3) (1 3;3];

(2; 9); 19) [–4; –3) (0; 1];

2

2;3;

[0; 2 2) (2 2; 6];

[–1; 1) (3; 5];

12

3;3 .

[ 7; 35) [5; 35) .23)

3.3. 1) (–2; + );

2)( ;3)

1

17

1

17

;

;

2

2

3) [1; 5];

4)

1

;9 ;

5) (–1; 3);

1

6) (– ; –1] [5;+ ); 7);7 ;

5

14

; 3 .

3.4. 1) ( 3; 6)(6;3);

2)

(–4; –3) (8; + );

5

65

7

1

3)

;

;

4)

;

.

4

36

3

3

3.5. 1) (0; 3];

2) (0; 9];

3) [4, + ).

3.6. 1) (– ; 0,5];

2) [–log25; –1];

3) [2; + );

4)

5

5) (– ; 1];

( ;0)

;

;

2

6)

(– ; –1);

7) (0; 1); 8) (0; + );

9)

(1; + );

10) (– ; log25];

(– ; log23) (2; + );

(– ;–2) ( log23; + );

1

13)(;0);.

3

3 5

3

5

3.7. 1)

log

2

2

;log

2

2

;

(–1; + ); 3) (– ; 1);

(10; + ); 5) (3; + ).

3.8. 1) (– ; 1]; 2) 0;

1

;

3) [–2; 1];

2

4) (0; 1); 5) (1; + ).

3.9. 1) (– ; –1) (1;+ );

2) (1;+ );

(– ; 0) (log23; + );

(– ;0) [1;+ );

1

5) [log3 2;0)

log3 2;log3

2 .

2

3.10. 1)

13

; ;

5

5

1

2

2)

; ;

3) {2} [5;+ );

3

3

4) (1; 2) [3; + );

5) (0; 4);

6) (5; 9] [10; + );

146

(0; 1) {10};

[log75; 1) (1; 9);

9)

0;

1

{5};

2

10) (–6; –4] [–3;+ ).

3.11.

1)

(1; + );

2) (2; + );

3) log2

2

3

;log

2 9

26

;

4) (– ; 0);

5) [0; + ];

6) [125; 15625);

7

1

7)[10;+ );

8)

;log4 11 .

2

3.12. 1) (–1; 1) (2;+ );

5

2)

;1 (4; );

3) ;

3

1

;1 (2;4);

2

( 5; 2) (1; 5);

1 5

1 5

5

6)

;

;

7)

;1 ;

2

2

3

8)( 1;1 2

2

) .

3.13. 1) (0;10 4 ] [10; ) ;

1

9

2)

;4

;

3) a)

{10;

10}

,

2

б) (0,

9

10

) (10, + );

4) а)

1

;3;б)

1

;3 ;

81

81

1

;1 [5,5; + );

2

6) (2; 4);

7) 1;

11

;

8) (2; 3);

10

9) (3; 5];

10) (2; 5);

11) [2; 4);

12) (– ; –1) (2; + ).

3.14. 1)

1

0;

[2; );

2

1

0;(10; ) ;

10

3)

1

1

1

;

;

;4

4

64

4

( ; 310) [ 1;0) (0;1] (310, ).

3.15. 1) (3; 27) [243;+ );

2)

1

1

1

0;

;

.

2

4

4

 9 11 3.16. 1) ; 23 5; 5

[27;+ );

(– ; –67) (–7;–3) (–3; 1) (61; + ).

3.17. 1) [3; 45]; 2) (0; 16] [24;+ ).

3.18. 1) (0; 1) (3; + );

2)

1

;

1

;

5 2

1

9

17

3)

2;

(0;1);

4)

2

4

;2 ;

3

; 1 ( 1;0) (0;3) ;

2

6) ( 1;0)

1

7) (2;3)

10

;3

;

;6

;

3

3

8) (10

43;4) (10

43; );

3

9) 1;

(2;3].

2

3.19. 1)

4

3

; 1

1;

;

3

2

26

3;1 1;5 .

147

1

13

1

13

3.20.

,

2

2

1

13

1

13

2;

;7 .

2

2

1

1

3.21. 1) 0;

;1

(1; );

27

3

1

2)

(1;3 9];

;1

3

1

3)

0;

[3 2; ).

2

3.22. 1)

2

(3; ); 2) [

2;2].

;1

3

3.23. 1) [3; + );

2) (– ; –3];

3

;2 .

2

3

3.24. 1) 0;log32 2

;

2

2)

( 1;

2

].

4.1. 1) {(4; 2)};

2) {(4; 1)};

3) {(2; 1)};

4) {(0; –3)};

5) {(1; 1)};

6) {(2; 1); (10; 5)};

1

1

7)

(7;49);

;

;

49

7

5

8)

;6 ;

9) {3; 3};

6

10) {(2; 3); (3; 2)}.

4.2. 1) {(1; 2); (log29; log32).

2) {(16; 4)}; 3)

2;

3

;

2

1

4)

2;

;

784

5 {(3; 9); (9; 3)}; 6) {(20; 5)};

1

7)

4;

;

8) {(–2;–2);(2;2)}.

2

4.3.

1) {(2; 1)};

2) {(0; 1)}.

4.4.

1) {(–2;–2); (4;–2)};

2) {(–4; 4); (7; 4)}.

3

4.5. 1)

; 5

;

2

2

5

5

2)

; 8

.

2

2

4.6. 1) 4.

5.1.

1) При а (– , –1]

x = log2(1 – 2a);

при а

1;

1

2

x {log2 (1 2a);log2 (a 1)};

1

при a

;x log2 (a 1);

2

4

2) при a;

3

x1 = –log2(–3c – 4), x2 = –log2(5 – c),

4

при с3;5

log2 (5 с);

при с[5;)x;

4

3) при a

;

3

{log3 (3 2a);log3 (3a 4)};

148

3 4

при a2 ; 3

log3 (3 2a);

4

при a

;

x .

3

6

5.2. 1) При a

;

x;

7

6

при a

;

7

log4 (2b 4b2 7b 6);

1

при a;[0; ) x ;

4

при

a

1

2

;

4

9

x

10y1,2 10;

1,2

2

y

при a

;0

x10

2

10,

9

1

где y1,2

1 4a

32a

2

1

;

2a

3) при a

5

1

,

,

94

10

х = ;

при a

5

,0

94

x

1 log5 t1

;

приа=0 х= 1;

1

при а

0;

10

1 log5 t1,2 ;

при a1x 2 ,

10

где t1,21 14a60a2 .

2a

4) при а (– , 0] (3,+ ) x = , при а (0, 3]

х {2 log3(2

4 a )}; .

5) при a

5

; 1

2

x ( 1)n arcsin(log (a 3)) n,

2

п ℤ,

5

при a;

(1; )

х =.

10

при a3 ;2

c 4

x arccos

log3

2 n,

2

п ℤ,

при a

10

2,

,

3

x = .

5.3. 1) (–3; 5];

2) {–2} [0;+ );

5

3)

;1 {2}.

4

5.4. 1)

1

;

{0} [1; );

2

2)[ 1; )

3

;

2

16

3);0

[8; ).

3

5.5. (– ; 1].

149

5.6. 1) При а(– , –9)x =;

приа=–9х=1;

при а(–9; –8) (–8; 0)

 x1,2 log3 (3 9 a) ; при а = –8 x log3 2 ; приа[0,+ )

log3 (3 9 a ) .

при a ( ; 1] x ;

при a( 1;0)

{log2 (1 1 a )};

при a[0;)

log2 (1 1 a );

при b ( ;12) х = ;

при b[12; 13)

log3 (1 b 12);

при b = 16 х =;

при b[13;) \{16}

log3 (1 b 12);

при a (– ;–2] {2; 6} х = ;

при a(–2; 2) {10}

log2 (a 2);

при a (2; 6) (6; 10) (10;+ ) x1 log2 (a 2); x2 log2 (a 2).

5.7. 1) y12x / 2 , y22 2x ;

y = {–3; 1} при х > 0,

y { 1 2} при x < 0;

y = x3 при x > 0, x 1, y 3 x при x > 0, x 1;

4) y =

1

при x > 0, x 1,

x

5) yx при x > 0, x1.

46

5.8. 1) При a;

27

46

x

; 3a ;

9

46

5

при a

;

x 3a ;

27

3

при a

5

46

х;

;

3

9

при a

46

x

46

;

;

9

9

134

67 15

2) при b;

;

9

x

134

, x2 = –2b;

1

3

134 67

при b

;

x = –2b;

3

9

15

134

2 ;3

при a (– ;–1] x1 = 9, x2 = 99;x;приb

 при a (–1; 9] x1 = 9, x2 = 99; x3 = a;

при a (9; 99] x1 = 99, x2 = a; при a (99; + ) x = a;

4) при c(– ;–9]x1 = 3, x2 = 75;

при c(–9; 0]x1 = 3, x2 = 75,

x3 = c + 3;

при c(0; 72]x1 = 75, x2 = c + 3;

при c(72; + )x = c + 3.

150

5.9. 1) При а (– , 2) (2; 8] x= ;

приа=2 х (5;+ ); при а (8; + ) x a 2 .

2

при b (– , 3) [9; + ) x= ; при b (– , 3) [9; + ) x [3;9);

при b (3; 9)x1 (b 3);

2

при d (– , 0] {1} x= ; при d (0; 1) (1; 8]

 x = 2 + 8 d ; при d (8; + )

x1,22 8d ;

4) при c(– ; 3)

x1,23 353с ;

при c[3; log331]

x1,23 353с ;

x3,43 3с27;

при c(log331;+ )x= .

при а (– , 0) x= ; при а (0; 8]

x1 log72 (2 9 a ); x2 log72 (2 9 a );

при а[8; 9]

x1 log72 (2 9 a ); x2 log72 (2 9 a );

приа(9;+ ]

x1 log72 (2

9 a

).

5.10.

–1.

3

2

4

5.11.

0;

(2; ).

4

5.12. 1) Дуга окружности (х – 2)2+ +(у + 1)2 = 5 в первой четверти с тремя выколотыми точками;

часть квадрата |x – 1| + |y| = 1 в первой четверти с удаленной вершиной и часть прямой у = х –2 в третьей четверти;

часть параболы х + 2 = (у – 3)2, лежащая выше прямой у = х –7 с двумя удаленными точками;

часть гиперболы ху = 6 в пер-вой четверти, лежащая ниже прямой х + у = 5 с выколотой точкой.

5.13. 1) При a(– ; 6]

x[3; + ); при a(6; + )

a 2

x 3;3 log2

;

2

a

6

2) при a (– ; –2]

2

a 5

x 2 log4

;

2a 3

при a (–2; 5) x [2;+ );

приа [5;+ )

2

a 5

x 2; 2 log4

.

2a 3

5.14. 1) при а (– , –1)

х {a+1} [0; 4);

при а [–1, 0)

x [0; 4);

при а [0, 3]

x (a; 4);

при а (3; 4) x (a; 4) {a + 1}; при а [4,+ ) x a + 1.

2) при а ( ;2] x (3; ); при a (2;3)

х(2; a](3;);

151

приа=3

(2;3) (3; );

при a(3;)

(2;3) [a; );

при a (– ;–2]

(a; –1] (2;+ );

при а(–2, –1)

(a; –1) {a + 1} (2;+ );

при а[–1, –1)

{a + 1} (2;+ );

при а [1; 2] x (2; + ); при a (2; + ) x (а; + ).

при а (– ; –4]

(1 – a; + );

при а(–4; –3]

(–a; 4) (1 – a; + );

при а(–3; 0]

(–a; 1 – a) (4; + );

при а(0; 1]

(–a; 0) (0; 1 – a) (4; + );

приа[1;+ ]

(–a; 1 – a) (4; + ).

1 b

5) при b (– ; –6] x ; 2

при b(–6; –5]

b

b

x

;3

;3 ;

2

2

при b [–5; 4]

b

x

;3 ;

2

при b (4; 5] x [ 2;3]; при b (5; + )

1 b

x

[ 2;3].

2

5.15. 1)

4

2)

3

0;

;

;0 ;

7

5

3)

5

8

4)

57

;

;

;

;

3

28

2

5) (; 2,5); 6) (–3;–1) (2;4).

5.16. 1)4 ; 2) 6.

2

5.17. 6.

5.18. (–1; 0) (0; 1) (2;+ ), pmin = 3.

5.19. [0; 9), ymin = 0.

5.20. При p(0, + )

S( p)p( p12) ;

6

при p(– ; 0]S(p) = 0.

5.21.

1

.

2

5.22.

4.

5.23.

1)

1

3

2)

2

11

;2

;

;

.

4

3

4

3

25

59

5.24. 1) При d

;

3

7

x log

5

(6d 50),

y log

2 (60 7d);

7

при d

25

59

;

;

3

7

x= ;

11

при c 2 ;7

152

x log2

(6c 11),

n ℤ;

y arccos(6 c) 2 n;

11

(7; ) x= .

при

c

;

2

2

1

5.25. 1)

;

;

2) (– ; 2).

3

3

11

5.26. 1) ( ;1]

;

8

2)

1

(0; ).

2

5.27. 1)

7

7

12

;2

2;

;

5

5

2)

7

8

8

7

4 ;

;

;

4

3

3

2

11

; 94123;

{ 9;11};

51

;8 0;1;4.

5.28.

2

2

1)

;3

3

3

;4

;

9

1

3

2)

0;

;

3)

;

.

16

2

5.29.

(– ; –783].

29

1

5.30.

3

29

;

.

2

2

3

65

7; .

5.31.

;

2

5.32.

При p (0; 1)

1

x (0; p) 1;

;

p

при p(1; + )

1

;1 ( p, ). p

5.33. При p = 4k,

k ℤ, x = 1.

5.34. При p = 2k,

k ℤ,

fmax 1

1

.

16 p2

При p = 2k + 1,

k ℤ,

fmax 1

9

.

16 p2

5.35. При 0 < p < 1

p 1

E

p

;2

;

log2 p

при

p < 1

p 1

E p 2

;

log2 p

.

5.36. 1.

6.6. 1) (– ; 4];

3

2)

; ;

2

3) [–2;0];

4) (– ; 10);

5)( ; 3] (2

2; ).

1

1

6.7. 1)

;2 ;

2)

; ;

2

3

1

1

3)

;

;

4)

;1 ;

2

5) [2;+ );

6)

1

; .

27

153

6.8. 1) [4;+ ); 2) [–4;+ );

3) (– ; 0]; 4) (– ; 2]; 5) (– ; 2].

6.9. 1) [–1;+ ); 2) [2;+ ); 3) [1; 3];

4) [18; + ); 5) (– ; –2]; 6) [–1;+ ).

6.10. 5.

Тема III

1.1. 1)

2

2) 1;1 ;

;

;

3

[–0,4; 1]; 4) (– ; –1) [2; 3];

(– ;–3] (–2; 1) (1; 4);

[1;+ );

(– ; –1] [5; + );

(– ;2) (2;+ );

[–0,5; 3);

[–2; 1) (1; 3].

1.2. 1) x ℝ\

n

, n ℤ;

6

3

2) x ℝ\ 2 n , n ℤ;

3) x ℝ\

n 3

, n ℤ;

2

4) x ℝ\

n , n ℤ;

2

5) x ℝ\

k / 3

, k ℤ;

2

6) x ℝ\ n

, n ℤ;

4

7)(– ;0)(0;+ );

8)(– ;1)(1;+ );

9) x(– ; 1) (1; 5) (5; + ).

1

1.3. 1)1;;

3

[ 2; 2] [ 2;2];

[8; 12];

( ;1] [1; );

1 1

2;2 ;

2

(;4]3;;

7) (;0][2;).

1.4. 1) (;2)(2;);

2)

( ;2) (2; );

3)

3

3

;

; .

4

4

1.5. 1)

3

2

;

;

2)

;

;

2

5

3)

( ;

3) (

3; );

4)

1

5) (–2; 2);

;

;

3

6)

( ;1) (1; );

7) (3; );

(3;4) (4; );

( 5; 2) ( 2;2) (2;5);

10)

5

4

4

;

; .

3

3

3

1.6.

1) 7;

2) 5;

3) 91;

4) 1;

5) 2.

1.7.

1) a) [1;+ );

б)[1;3)(3;);

в) (– ; –2] [2; + ); г) [1; + );

a) (– ; –2) (–2;–1] [1; + ); б) (– ; –2) (–2;–1) (1; + ); в) (– ; –1] [1; + ); г) (– ; –2) (–2;–0,5];

a) [–1; 0) (0; 8]; б) [–1; 0) (0; 8];

154

1

в)(;1]8;;

 г) [–1; 3,5) (3,5; 8]; 4) a) [–2; 0);

б)

1

1

2;

;0

;

2

2

1

1

в)

2;

; г)

;

;

2

5) a) (– ; 0) (4; 5) (5; + );

б) (– ;–1) (–1;0) (4; 5) (5; + );

в) (–1; 5) (5; 7);

г) (– ;–0,1) (–0,1; 0) (4; 4,1)

(4,1; + ).

1

1.8. 1);;

4

(– ; –1) (–1; 0) (0,5; + );

(– ; –1) (–1;–0,25] {0} [0,5; + );

(– ; –4] [–0,4; + );

(–1; 0) {0,5}.

1.9. 1) (–2; –0,5]; 2)

1

; ;

3

3) [–3; 1];

7

k ℤ;

4)

2 k;

2 k ;

6

6

5) (–1; 2].

1.10.

1)

2)

3)

4)

5)

1

1.11. a

;

{2}

k

,

2

2

 0, k ℤ. 1.12. a (3; + ).

1.13. a ( 1;0).

1.14. Таких значений а нет.

2.1. 1) (– ; 25]; 2) [0; 5];

[–2; 3]; 4) (– ; 4]; 5) [0; 2];

[3; 5]; 7) (– ; 9]; 8) [0; 3];

[–1; 2].

155

2.2. 1) [–1; 5];

2) [–7; –3];

3)

[–2; 3];

4) [–7; 1];

5)

[–5;

–3];

6) [–9; –2];

7)

[4; 5];

8) [–5; –3];

9)

[1; 4].

5

2.3. 1)

;

;

2)

;

;

2

2

2

2

3)

[3 ;4 ];

4)[–5 ;– ];

5)

[–4 ;2 ];

6) (0; 2 ).

1

1

2.4. 1) 1;

;

2)

;1 ;

2

2

3)

[–1; 0];

4)

1

;1 ;

2

5)

[–1; 1);

6)

1

;1 .

2

1

1

2.5. 1) 2;

;

2)

;3 ;

4

10

3;2; 4)[ 2; 2];

5)

[–2; 2];

6)

2

;

2

;

3

3

7)

[–13; 13];

8) [–5; 5];

(– ; –1] [1;+ );

[1;+ ).

2.6. 1) [– ; –2] [2;+ );

2) (– ; –4] [4;+ );

22

;33;;

4)

[2;+ );

5)

2

; ;

3

6)

(– ; –2] [2;+ );

7)

(– ; 3];

8) (– ; 2].

2.7. 1) (0; + ); 2) [1;+ );

1

3)

(0; 1];

4)

9

;

;

5)

1

6)

1

0;

;

;

;

3

16

7)

(0; 3];

8) (0; 4];

9)

1

; ;

10) (0; 4];

3

1

11)

0;

4; ;

4

12)

1

13)

1

0;

;

;2 ;

9

2

14) [1; 3];

15) [4; 64];

16)

1

17)

1

;1 ;

; .

64

4

2.8. 1) [2; + );

2) (– ; 2];

3)

(– ; –1];

4)

1

;

;

1

(– ;1]; 6); 3;

7)

[4;+ ).

2.9. 1) (– ; 1) (1; + );

5

2)

[2; + );

3) 0;

;

7

4)

[–5; 5];

5) [2; 8];

6) [3; 7];

7)

3

1

8)

9

;

;

;2 ;

4

2

8

9)

[0; 3];

10)

5

1;

.

4

2.10.

1)

1;

2) 4;

3) 7;

4) 10;

5) 2.

2.11.

1)

[–2; 3];

2) [–7; 3];

3) [0;7];

4) [0; 9];

5) [0;

3 ].

156

2.12. 1) а) [0;

2

];

б) [0; 1) (1;+ );

1

1

в) [0; 2];

г)

;

;

2

4

2) а) [0; 1];

б) (0;+ );

в) (– ; 1);

г) (– ; 0) (1;+ );

а) [0; 1]; б) [0; 2]; в) [0; 1]; г){ };

а)[0;5]; б) [0;+ ); в) [–5; 5];

г) [–21; 4].

2.13. 1) (– ; –2] [2;+ );

2)

85

3)

5

; 2 ;

; ;

18

2

55

;22;;

17

; 4 .

3

2.14. a = –1; a.

 1 2.15. a 1; 3 .

3

2.16. a = – 2; a.

 1 2.17. a 0; 2 .

2.18. При a = –1 Ey = {0};

при a 1

E y

1

1

;

.

2

2

3.1. 1) и 3).

3.2. 1) и 4).

3.3. 2) и 3).

3.4. 1) a = 1;2) a2 k .

3.5. 1) a = 2; 2) a = –2;

ak. 2

3.6. 1) a = 3;2) a = 0, a = 1;

am. 2

3.7. 1), 3), 5) нечетные; 2) четная;

общего вида.

3.8. 1), 3), 4), 5) нечетные;

четная.

3.10. 1) –1;

2) 1;

3) 2

2

.

3

3.11. 1) –2;

2) 1;

3) 0.

3.14. a = 2.

3.15. a 1

;0

0;

1 .

2

2

4.1. 1) ; 2)

2

; 3)

4

;

3

3

3;5).

2

4.2. 1) 2 ;

2)14 ;3)12 ;4) .

4.3.

1) a) –1; б) E = (–1; 1];

в) x = 2n, n ℤ;

2)

a) 54;

a) –1; б) E = [0; 1]; в) x = 2n, n ℤ;

a) 0; б) E = [0; 4];

в) x = 7 + 2n, nℤ.

4.4. 1) T = 1; 2) T = 1/2.

4.6. 2 2| a | 2 2 .

22

157

Тема IV

1.1.

1)

9;

2) 3;

3) –18;

4) 21;

5) 31;

6) 200.

1.2.

1)

2, 3, 4, 5, 6, 7;

6, 4, 2, 0, –2, –4;

–2,–11,–1,–1;0, 1;

222

4) 5, 3, 1, –1, –3, –5.

1.3. 1) –54; 2) 12; 3) 24; 4) 16.

1.4. 3.

1.5. 4.

1.6. 6; 36.

1.7. 74; –66.

1.8. 1900

1.9. 4

1.10. 14.

1.11. 8.

1.12. 1) 7125; 2) 4380; 3) 594;

147 . 2

1.13.

1)

15 –10n;

2) –2 + 2n;

3) –2 + 3n; 4) 2 + n.

1.14.

1)

19;

2) 4;

3) 1;

4) 4.

1.15.

0.

1.16.

11.

1.17.

–4.

1.18.

17

.

1.19.

21

21.

1.20.

1)

36;

2) 154;

3) 23;

4) 94.

1.21.

1)

2430;

2) 2475;

3) 1265;

4) 963.

1.22.

1)

247500;

2) 45387;

3)

71079;

4) 38535.

1.23.

1)

55;

2) 1;

3) 7;

4) 3.

1.24. 1)

2;

2) 2;

3) 2;

4) –2.

1.25.

20.

1.26.

7.

1.27. 0 или –28.

1.28. 1) 5; 4;2) 4; 2;3) –7; 7;

4) 0,5; 1,5.

1.29. 1) 1; 2 и 9, –2;

–3; 4 и 5, –4;

–2; –2 и –14, 2;

8;–2и0,2.

1.30.

1)

да;

2) нет;

3) да; 4) да.

1.31.

1)

7; 3;

2) 5; 2; 3) –1; –4;

4) –3; 1,5.

1.32.

1)

3;

2) 4;

3) 3;

4) 5.

1.33.

1)

395;

2) 390;

3) –6.

1.34.

155.

1.35.

22.

1.36.

45.

1.37.

34.

1.38.

16.

1.39.

1)

4;5и

79

;

37

;

7

1;2 и–4; 1;

2

3;1 и 437; 51. 91 91

1.40.

1)

58;

2) 24;

3) 16.

1.41.

9 или 16.

1.42.

95 градусов.

1.43.

10 градусов.

1.44.

10.

1.45.

6.

1.46.

14.

1.47.

11.

1.48.

1)

5;

2) 15; 27;

3) 7;

4) 3;

–5; 6) 3/2; 7) 1; 8) 6;

2 k;n , k, n ℤ;

24 2

2 k; 2 п , k, n ℤ;

2

158

11) 0;

12) 3.

1.49. 1)

9;

2) 9;

3) 144;

4) 1.

1.50. 1)

22;

2) 21;

3) 40.

1.51. 1)

1064;

2) 120;

3)

612;

546.

1.54. 101.

1.55. а

1

2

1

3

0;

;

;

;

.

24

15

2

7

1.56. а

1

2

;

3

;

7

;

11

;

.

30

19

8

5

2

2.1. 1) 5 2п 1; 2) 2 3п 1;

3)321п; 4)2п3;

5)

23–2п;

6) 3

3

;

5 2п

7)

(–1)n или –1;

8) 2 (–3)п – 1.

2.2. 1) sin (2cos )n–1;

2)

21–n(tg )3–2n;

3) (tg )–п;

4) 2n–1.

5

2.3. 1) –; 2) 56; 3) 54;

4) 0,0003.

2.4. 1 .

64

2.5. 4.

2.6. 125.

2.7. 47.

2.8. 2187.

2.9. 55.

2.10. 911.

2.11. 39.

2.12. 1) 2047; 2) 341 ;

310 1

1024

3)

10

;

4) 2731.

2 3

13

2.13. 1) 35; 2); 3) –30; 4) –14.

2.14. 1) 2; 2) 9

;

3) 3; 4)

16

.

4

5

2.15. 1)2;3и18;1; 2)3;2и12;1;

32

8;0,5и2;2; 4)9; 1 и1;3.

3

2.16.

3

;

1

и –

2

;

1 .

4

2

9

3

2.17.

2;

1

.

2

2.18.

127

.

8

2.19.

16

.

3

2.20.

242

.

81

2.21.

63

.

32

2.22.

1)

120;

2) 170;

3) 75.

223. 1) 26

2

; 2) 40; 3)

15

.

3

2

2.24.

1) 30

3

;

2) 32;

3) 96.

2.25.

1) 2;

2)1и

; 3)3и

8

;

3

3

2

5

–2и 14. 5

2.26. 1) ( 1)kk; kℤ;

2

( 1)kk; k ℤ; 6

2 2 k;

3

2 k. 3

159

2.27. 1) 2; 1 ;2) 4; 2;

2

k ; n , k, n ℤ;

1234

4) {0; 1}.

9

6

2.28. 1) 1;

; 2)2;

5

3) 3; 4) {0; 2}.

2.29. 1) 4, 8, 16 и 16, 8, 4;

2,6, 18 и 18, 6, 2;

1,4, 16 и 16, 4, 1;

3,6, 12 и 12, 6, 3.

2.30. 25,7,–11 и 4, 7, 10.

2.31. 4, 11, 18 и 19, 11,3.

2.32. 1){3, 15,27,...};{3, 9,27,...};

 {3,3,3,...}; {3,–3,3,... }. 2.33. 1) {2, 5, 8, 11,...};

{2, 4, 8, 16,...};

{2, 5, 8, 11,...}; {2, –4, 8,–16,...};

3){2, 2, 2, 2,...}; {2, 2, 2, 2,...};

{2, 2, 2, 2,...}; {2,–2, 2,–2,...}.

2.35. 3;6; 12 и 27, 18, 12.

2.36. 4, 8, 16 и 36, 24, 16.

2.37. 5, 10, 20 и 45, 30, 20.

2.38. 246.

2.39.{а, 7а, 13а, ...}, {а, 4а, 16а,...};

2) {а, а, а, ...}, {а, –2а, 4а, ...},

гдеа>0.

2.41. 2n+1(n – 1) + 2 – n(n + 1)/2.

160



Толық нұсқасын 30 секундтан кейін жүктей аласыз!!!


Қарап көріңіз 👇
  Логарифм және оның қасиеттері. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Логарифм және оның қасиеттері. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Логарифм және оның қасиеттері. Алгебра, 11 сынып, дидактикалық материал. ᐈ
  Логарифм және оның қасиеттері. Алгебра, 11 сынып, презентация. ᐈ
  Логарифм және оның қасиеттері. Алгебра, 11 сынып, сабақ жоспары. ᐈ
  Логарифм және оның қасиеттері. Алгебра, 11 сынып, презентация. ᐈ
  Логарифм және оның қасиеттері. Алгебра, 11 сынып, сабақ жоспары. ᐈ
kz | ҰМЖ, ОМЖ, ҚМЖ - Ұзақ, орта, қысқа мерзімді жоспар | Алгебра


Пайдалы сілтемелер:
» Туған күнге 99 тілектер жинағы: өз сөзімен, қысқаша, қарапайым туған күнге тілек
» Абай Құнанбаев барлық өлеңдер жинағын жүктеу, оқу
» Дастархан батасы: дастарханға бата беру, ас қайыру
Пікір жазу